Учёные научились определять расстояние от Луны до Земли с циальных зеркал, установленных на поверхности Луны.
В ходе таких измерений учёные непосредственно определили, что Луна медленно удаляется от Земли. Это происходит потому, что из-за образования приливных волн момент импульса Земли передаётся Луне.

Часть A. Сохранение момента импульса

Пусть $L_1$  — полный момент импульса системы Земля-Луна. Сделаем следующие предположения.

1. $L_1$ определяется только вращением Земли вокруг собственной оси и вращением Луны вокруг Земли.
2. Орбита Луны круговая, и Луна считается материальной точкой.
3. Ось вращения Земли и ось вращения Луны совпадают.
4. Для упрощения расчётов будем считать, что эти оси проходят через центр Земли. Во всех пунктах данной задачи моменты инерции, моменты сил и моменты импульса рассчитываются относительно этой оси.
5. Влиянием Солнца на движение рассматриваемой системы можно пренебречь.

A1  ^0.20 Запишите для настоящего времени выражение для полного момента импульса системы Земля-Луна. Выразите его через момент инерции Земли $I_E$, угловую скорость вращения Земли $\omega_{E1}$, момент инерции Луны $I_{M1}$ относительно земной оси и угловую скорость орбитального движения Луны $\omega_{M1}$.

Процесс передачи момента импульса от Земли к Луне прекратится, когда земные сутки и период обращения Луны будут иметь одинаковую продолжительность. К этому времени приливные подъёмы воды, которые Луна вызывает на Земле, будут ориентированы вдоль прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и поэтому момент силы исчезнет.

A2  ^0.20 Запишите выражение для конечного значения полного момента импульса системы Земля Луна $L_2$. Используйте те же предположения, что и в пункте A1. Выразите его через момент инерции Земли $I_E$, конечную угловую скорость вращения Земли и обращения Луны $\omega_2$ и конечный момент инерции Луны $I_{M2}$.

A3  ^0.30 Пренебрегая вкладом вращения Земли в конечную величину полного момента импульса, напишите уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса.

Часть B. Конечные расстояние и угловая скорость движения системы Земля-Луна

Будем считать, что орбита движения Луны вокруг Земли всё время остаётся круговой. Для конечного состояния:

B1  ^0.20 Запишите уравнение, определяющее закон движения Луны по круговой орбите вокруг Земли. Выразите данное уравнение через расстояние $D_2$ между центрами Земли и Луны, массу Земли $M_З$, угловую скорость $\omega_2$ и гравитационную постоянную $G$.

B2  ^0.50 Запишите выражения для расстояния между Землей и Луной $D_2$ и для угловой скорости Земли $\omega_2$ как функцию полного момента импульса системы $L_1$, масс Земли и Луны $M_E$ и $M_M$ соответственно и гравитационной постоянной $G$.

B3  ^0.50 Запишите выражение для угловой скорости $\omega_2$ системы Земля Луна через известные параметры $L_1$, $M_E$, $M_M$ и $G$.

Найдите численные значения $D_2$ и $\omega_2$. Для этого вычислите момент инерции Земли.

B4  ^0.50 Запишите выражение для момента инерции Земли $I_E$, предполагая, что она является шаром с плотностью $\rho_1$ от центра до расстояния $r_1$ и шаровым слоем с плотностью $\rho_0$ от расстояния $r_1$ до расстояния до поверхности $r_0$ (см. рис).

B5  ^0.20 Рассчитайте момент инерции Земли $I_E$, используя следующие численные значения:
$$\rho_1=1.3\cdot 10^4~кг\cdot м^{-3},\ r_1=3.5\cdot10^6~м$$ $$\rho_0=4.0\cdot10^3~кг\cdotм^{-3},\ r_0=6.4\cdot10^6~м$$

B6  ^0.20 Оцените численное значение полного момента импульса рассматриваемой системы $L_1$.

Массы Земли и Луны равны $M_E=6.0\cdot10^{24}~кг$ и $M_M=7.3\cdot10^{22}~кг$ соответственно. В настоящее время расстояние между Землей и Луной равно $D_1=3.8\cdot10^8~м$. Угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси составляет $\omega_{E1}=7.3\cdot10^{-5}~с^{-1}$. Угловая скорость обращения Луны вокруг Земли $\omega_{M1}=2.7\cdot10^{-6}~с^{-1}$. Гравитационная постоянная $G=6.7\cdot10^{-11}~м^3\cdotкг^{-1}\cdot с^{-2}$.

B7  ^0.30 Найдите конечное расстояние $D_2$ в метрах и в единицах расстояния от Земли до Луны в настоящее время $D_1$.

B8  ^0.30 Найдите конечную угловую скорость $\omega_2$ в $с^{-1}$ и конечную продолжительность суток в единицах нынешних суток.

Убедитесь, что вкладом вращения Земли в полный момент импульса можно пренебречь. Для этого найдите отношение конечного момента импульса Земли к моменту импульса Луны. Это должна быть малая величина.

B9  ^0.20 Найдите отношение конечного углового момента Земли к конечному угловому моменту Луны.

Часть C. Насколько Луна удаляется за год?

Теперь найдите, насколько Луна удаляется от Земли каждый год. Для этого определите момент силы, действующей на Луну в настоящее время. Предположите, что приливные волны можно заменить двумя материальными точками массами $m$, расположенными на поверхности Земли (см. рис). Пусть $\theta$ — угол между линией, соединяющей места наибольшего подъёма, и линией, соединяющей центры Земли и Луны.

C1  ^0.40 Найдите модуль силы $F_c$ действующей на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C2  ^0.40 Найдите модуль силы $F_f$, действующей на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C3  ^0.40 Найдите модуль c $\tau_c$ момента силы, действующего на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

C4  ^0.40 Найдите модуль $\tau_f$ момента силы, действующего на Луну со стороны отдалённой от неё точечной массы.

C5  ^1.00 Найдите полный момент силы $\tau$ от двух масс. Так как $\tau_0\ll D_1$, выпишите выражение до первого значимого порядка по $r_0/D_1$. Считайте, что $(1+x)^a\approx 1+ ax$ при $x\ll 1$.

C6  ^0.50 Вычислите численное значение полного момента силы, принимая во внимание, что $\theta=3^{\circ}$ и $m=3.6\cdot 10^{16}~кг$ (заметьте, что эта масса составляет примерно $10^{-8}$ от массы Земли).

Найдите, насколько в настоящее время расстояние от Земли до Луны изменяется за год. Для этого выразите момент импульса Луны через $D_1$, $M_E$, $M_M$ и $G$.

C7  ^1.00 Найдите численное значение увеличения расстояния между Землёй и Луной за год в настоящее время.

C8  ^1.00 Найдите численное значение уменьшения угловой скорости вращения Земли $\omega_{E1}$ и увеличение продолжительности земных суток за год.

Часть D. Куда уходит энергия?

В противоположность моменту импульса, который сохраняется, полная энергия системы не сохраняется.

D1  ^0.40 Запишите выражение для полной (кинетической и гравитационной) энергии $E$ системы Земля Луна в настоящее время. Выразите его через $I_E$, $\omega_{E1}$ $M_E$, $M_M$, $D_1$ и $G$.

D2  ^0.40 Запишите выражение для изменения $\Delta E$ этой энергии $E$ как функцию изменения параметров $D_1$ и $\omega_{E1}$. Оцените численное значение величины $\Delta E$ за год, используя величины изменения $D_1$ и $\omega_{E1}$, найденные в пунктах C7 и C8.

Проверьте, что эти потери энергии связаны с переходом механической энергии в тепловую в процессе подъёма и опускания воды в каждой приливной волне. Считайте, что изменение потенциальной энергии при подъёме одного горба приливной волны эквивалентно подъёму слоя воды толщиной $h=0.5~м$, покрывающего всю поверхность Земли (для упрощения можно считать, что вся Земля покрыта водой) в среднем на высоту $0.5~м$. Это случается дважды в день. Далее считайте, что $10\%$ этой гравитационной энергии переходит в теплоту благодаря наличию вязкости при опускании воды. Считайте плотность воды равной $\rho_в=1.0\cdot 10^3~кг\cdot м^{-3}$, ускорение свободного падения на поверхности Земли $g=9.8~м\cdot с^{-2}$.

D3  ^0.20 Чему равна масса этого поверхностного слоя воды?

D4  ^0.30 Вычислите величину потери этой энергии за год. Сравните полученное значение с потерями энергии, рассчитанными ранее (в п. D2).