Обширное пространство между звёздами заполнено т.н. межзвёздной средой. Под действием космических лучей молекулы межзвёздной среды могут лишиться части своих электронов и стать положительно заряженными ионами, в то время как электроны становятся свободными и превращаются в плазму. Пульсар — это нейтронная звезда, вращающаяся с большой скоростью и обладающая очень сильным магнитным полем. Его электромагнитное излучение при наблюдении с Земли представляет собой периодический сигнал. Излучение пульсаров может быть использовано для межзвёздной навигации и высокоточного измерения времени, поэтому необходимо знать точное время, за которое сигналы достигают Земли, и изучить фазовые сдвиги и дисперсию составляющего их излучения.
Расстояние между Землёй и пульсаром равно $d$, и средняя концентрация электронов в межзвёздной среде равна $n_e$ (характерный порядок этой величины $10^4~\frac{1}{\text{м}^3}$). В межзвёздной среде также существует однородное магнитное поле индукции $B$ (порядка $10^{-10}~\text{Тл}$), параллельное направлению распространения электромагнитных волн. Считайте известными массу электрона $m_e$, его заряд $-e$ ($e>0$), диэлектрическую проницаемость вакуума $\varepsilon_0$ и скорость света в вакууме $c$.

1 Выберем направление распространения электромагнитного излучения в качестве положительного направления оси $Oz$, тогда для электромагнитной волны с частотой $f$ составляющие электрического поля могут быть записаны как$$E_x=E_0\cos{(kz-2\pi ft)}\\E_y=E_0\cos{(kz-2\pi ft\pm \frac{\pi}{2})},$$где $E_0$ и $k$ — амплитуда и волновое число этой волны соответственно. Для простоты считайте $E_0$ постоянной и пренебрегите влиянием магнитного поля этой же волны на электрон. Найдите радиус $r_e$ кругового движения электрона в таком поле.

A

2 Распространяющийся в межзвёздной среде сигнал будет подвержен дисперсии, и скорость его распространения (т.е. групповая скорость $v_g$) пропорциональна производной частоты электромагнитной волны по её волновому числу и выражается формулой$$v_g=2\pi\frac{df}{dk}.$$Найдите наименьшую частоту $f_c$ электромагнитной волны, способной достичь Земли при движении через межзвёздную среду.

A

3 Считайте, что средняя концентрация электронов $n_e$ в межзвёздной среде остаётся постоянной вдоль всего пути распространения электромагнитной волны. Насколько больше времени $\Delta t$ понадобится волне частоты $f$, чтобы достичь Земли, при движении сквозь межзвёздную среду по сравнению с движением через вакуум?

A

4 Найдите, на какую величину $\Delta \Phi$ будет отличаться фаза пришедшей на Землю волны,, вектор напряжённости в которой вращается в одну сторону, по сравнению с волной, вектор напряжённости которой вращается в противоположную. Считайте, что $\frac{e}{2\pi}\sqrt{\frac{n_e}{\varepsilon_0m_e}}\ll f$, $\frac{eB}{2\pi m_e}\ll f$.

A

5 Предположим, что на промежутке длиной $a$ концентрация электронов отличается от средней на $\Delta n_e$. Какой дополнительный фазовый сдвиг $\Delta \Phi$ вызовет эта флуктуация для прошедшей сквозь указанный промежуток волны?

A