Если наблюдать с Земли за движением галактик, то регистрируемая длина волны их излучения будет отличаться от той длины волны, на которой галактики излучают. Это объясняется эффектом Доплера. Из общих соображений можно ожидать, что для одних галактик сдвиг регистрируемой длины волны будет положителен (красное смещение), а для других отрицателен (синее смещение). Однако наблюдения показывают, что для всех галактик (кроме ближайших) характерно красное смещение. То же самое должно получиться, если провести наблюдения из другой точки Вселенной. Из этого следует, что Вселенная расширяется.
На масштабах превышающих 100 Мпк (мегапарсек, 1 парсек = $3.26$ световых лет) можно пренебречь локальными неоднородностями Вселенной. В этом случае распределение галактик становится все более изотропным (независящим от направления, и однородным (независящим от координаты). Поэтому можно считать, что плотность Вселенной равна $\rho$.
Рассмотрим шар, который находится в шарообразном пространстве гораздо большего объема, и расширяется. Распределение плотности в маленьком шаре однородно и равно плотности в пространстве. Пусть в некоторый момент времени радиус рассматриваемого шара равен $R_s$. Чтобы задать зависимость радиуса от времени $R(t)$, введем безразмерный масштабный параметр $a(t)$, так, что $R(t)=a(t)R_s$.
Для этой модели можно получить уравнения Фридмана. Первое уравнение получится, если для точечной массы рассчитать скорость на поверхности шара используя закон всемирного тяготения.
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2=A_1 \rho(t)-\frac{k c^2}{R_s^2 a^2(t)}$$
где $k$ — безразмерная постоянная, $c$ — скорость света.
Приведенные выше рассуждения сделаны для нерелятивистского случая. Но их можно распространить и на релятивистскую систему, приняв $p(t)c^2$ как плотность полной энергии (не включая гравитационную потенциальную энергию). Если в такой релятивистской системе записать первое начало термодинамики для адиабатической системы, можно получить второе уравнение Фридмана:
$$\dot{\rho}+A_2\left(\rho+\left(\frac{p}{c^2}\right)\right) \frac{\dot{a}}{a}=0$$
где $p$ — давление на поверхности шара.
Для решения уравнений Фридмана предположим, что зависимость давления от плотности $p = p(\rho)$ записывается следующим образом: $p(t)/c^2$ = $w\rho(t)$, где $w$ — постоянная. Величина $H = \dot{a}/a$ называется постоянной Хаббла. Значения параметров в настоящий момент времени обозначается индексом $0$: $t_0$, $\epsilon_0$, $H_0$, $a_0$ и так далее. Для простоты примем $a_0= 1$.
Считается, что Вселенная образовалась в результате Большого Взрыва, при котором образовались релятивистские частицы. В процессе расширения Вселенная охлаждается, и частицы в ней становятся нерелятивистскими. Однако, недавние наблюдения показывают, что современная Вселенная характеризуется постоянной плотностью энергии. По мере расширения Вселенной у фотонов длина волны растет пропорционально масштабному параметру.
Постоянная $k$ в первом уравнении Фридмана характеризует тип пространственной геометрии Вселенной. Она может принимать значения:
Введем относительную плотность $\Omega = \rho/\rho_c$, где $\rho_cc^2 = H^2/A_1$ и называется критической плотностью энергии. $A_1$ берется из пункта A1.
Наблюдения реликтового излучения предсказывают, что наша Вселенная практически плоская. Однако, если это так, то начальное состояние Вселенной тоже должно было быть плоским. Иначе любое случайное отклонение приведет к тому, что Вселенная не будет плоской.
В самом начале Вселенная должна была находиться в фазе постоянной плотности энергии. В этой фазе расширение происходит экспоненциально, и называется фазой инфляции.
Введем параметр $\epsilon=-\dot{H}/H^2$.
Отметим, что фаза инфляции продолжается пока $\epsilon < 1$, и завершается когда $\epsilon = 1$.
Можно ввести параметр $N$, что $dN = d In a = Hdt$. Этот параметр соответствует скорости экспоненциального расширения. Когда фаза инфляции завершилась, $N=0$.
Можно привести пример простой системы, в которой может возникнуть фаза инфляции. Например, это Вселенная, где преобладает однородное распределение материи. Поведение частицы этой материи описывается некой функцией $\phi(t)$ (можно считать ее аналогией координаты).
В этой модели уравнение динамики для частиц выглядит следующим образом:
$$
\ddot{\phi}+3 H \dot{\phi}=-V^{\prime}
$$
где $V=V(\phi)$ — потенциальная энергия частицы, а $V^{\prime}=\frac{\partial V}{\partial \phi}$.
В этой модели для постоянной Хаббла справедливо следующее соотношение:
$$
H^2=\frac{1}{3 M_{p l}^2}\left[\frac{1}{2} \dot{\phi}^2+V\right]
$$
где $M_{p l}$ — константа.
Фаза инфляции происходит, когда потенциальная энергия $V$ намного больше кинетической энергии $\dot{\phi}^2 / 2$. Это происходит в течение достаточного времени, что слагаемым $\ddot{\phi}$ в уравнении динамики можно пренебречь.
Введем параметр $\eta_V=\delta+\epsilon$, где $\delta=-\ddot{\phi} /(H \dot{\phi})$.
Предсказания любой модели фазы инфляции должны согласовываться с экспериментальными данными по изучению реликтового излучения. Для начала фазы инфляции ($\phi=\phi_{start}$) рассчитаны параметры $n_s=0.968 \pm 0.006$ и $r < 0.12$, где $n_s=1+2 \eta_V-6 \epsilon$ и $r=16 \epsilon$ для модели Вселенной, где преобладает однородное распределение материи.
Будем считать, что потенциальная энергия задана в явном виде $V(\phi)=\Lambda^4\left(\frac{\phi}{M_{pl}}\right)^n$, где $n$ — целое число, $\Lambda$ — постоянная.