| 1 Для пробного тела массой $m$ на границе шара массой $M_s$:\[m\ddot R(t)=-GmM_s/R^2(t)\] | 0.20 |
|
| 2 Выражение $\dot R^2/2=GM_s/R+A$ | 0.60 |
|
| 3 $M_s=(4\pi/3)\,\rho(t)R^3(t)$, $\dot R=\dot aR_s$ | 2 × 0.10 |
|
| 4 $\left[\dot a/a\right]^2=(8\pi/3)\,G\rho(t)+2A/R_s^2a^2(t)$ | 0.20 |
|
| 5 $A_1=8\pi G/3$ | 0.10 |
|
| 1 Первое начало термодинамики:\[\mathrm dE=-p\,\mathrm dV+\mathrm dQ\] | 0.10 |
|
| 2 Адиабатический процесс $\dot E+p\dot V=0$ | 0.10 |
|
| 3 $\dot V=3V\,\dot a/a$ | 0.10 |
|
| 4 $E=\rho(t)V(t)\,c^2$ | 0.20 |
|
| 5 $\dot E=\left[\dot\rho+3\dot a/a\right]\,Vc^2$ | 0.10 |
|
| 6 Отсюда получено выражение $\dot\rho+(3\dot a/a)\,\left[\rho+p/c^2\right]=0$ | 0.20 |
|
| 7 $A_2=3$ | 0.10 |
|
Для каждого из трех случаев определите значение $w$
| 1 Подставляя $p(t)/c^2=w\rho(t)$, получено $\dot\rho+3\rho(1+w)\dot a/a=0$ | 0.10 |
|
| 2 $\rho\propto a^{-3(w+1)}$ | 0.20 |
|
| 3 1. $\rho_r=E_r/V\propto a^{-4}\implies w_r=1/3$ | 0.30 |
|
| 4 2. $\rho_m\propto a^{-3}\implies w_m=0$ | 0.30 |
|
| 5 3. $\epsilon_\Lambda=\text{const}\propto a^0\implies w_\Lambda=-1$ | 0.30 |
|
Приняв $k = 0$, найдите $a(t)$ для всех случаев 1, 2 и 3 из пункта А3.
Начальные условия:
| 1 1. Получено $\left[\dot a/a\right]^2=(8\pi/3)\,G\rho_{r0}\left[a_0/a\right]^4$ | 0.20 |
|
| 2 Проинтегрировано до ответа $a(t)=\sqrt{2t\sqrt{(8\pi/3)\,G\rho_{r0}}}$ | 0.20 |
|
| 3 2. Аналогично получено $a(t)=\left[(3t/2)\,\sqrt{(8\pi/3)\,G\rho_{m0}}\right]^{2/3}$ | 0.40 |
|
| 4 3. $\ln a=H_0t+K'\implies a(t)=\exp\left[\sqrt{(8\pi/3)\,G\rho_\Lambda}\,(t-t_0)\right]$ | 0.40 |
|
| 1 $k=(\Omega-1)a^2H^2R_0^2/c^2$ | 0.10 |
|
| 1 $\Omega(k=+1) > 1$, $\Omega(k=-1) < 1$, $\Omega(k=0) = 1$ | 0.30 |
|
| 1 Из пункта A5 $\Omega-1=kc^2/R_0^2\dot a^2$ | 0.10 |
|
| 2 $a/a_0=(t/t_0)^p$, где $p=1/2$ для излучения и $p=2/3$ для материи | 0.20 |
|
| 3 $\Omega-1=\tilde k t^{2(1-p)}$ | 0.20 |
|
| 1 $a(t)=e^{Ht}\implies\dot a=He^{Ht}$ | 0.10 |
|
| 2 $\Omega-1=(k/H^2)\,e^{-2Ht}$ | 0.20 |
|
С помощью формул покажите, что из условия фазы инфляции следуют нижеперечисленные утверждения:
| 1 Из постоянства энергии при инфляции следует $w=-1\implies p=w\rho c^2 < 0$ | 0.20 |
|
| 2 $\dot a^2=(8\pi/3)\,G\rho a^2-kc^2/R_0^2\implies\ddot a/a=-(4\pi/3)\,G(\rho+3p/c^2)$ | 0.40 |
|
| 3 $p < 0\implies \ddot a > 0$ | 0.10 |
|
| 4 $\\dot a=\mathrm d(\dot a)/\mathrm dt=\mathrm d(Ha)/\mathrm dt > 0\implies\mathrm d(Ha)^{-1}/\mathrm dt < 0$ | 0.20 |
|
| 1 $\mathrm d(aH)/\mathrm dt < 0\implies-(\dot aH+a\dot H)/a^2H^2=-(1-\epsilon)/a < 0\implies \epsilon < 1$ | 0.20 |
|
| 1 Получено выражение $2H\dot H=(1/3M_{pl}^2)\,\left[\dot\phi\ddot\phi+\dot\phi\frac{\partial V}{\partial\phi}\right]=-H\dot\phi^2/M_{pl}^2\implies\dot H=-\dot\phi^2/2M_{pl}^2$ | 0.30 |
|
| 2 Получено $\epsilon=\dot\phi^2/2M_{pl}^2H^2$ | 0.10 |
|
| 3 $\dot\phi^2\ll V\implies H^2\approx V/3M_{pl}^2$ | 0.20 |
|
| 4 $3H\dot\phi\approx-V'$ | 0.10 |
|
| 5 $\implies\epsilon\approx\cfrac{M_{pl}^2}2\left[\cfrac{V'}V\right]^2$ | 0.30 |
|
| 6 $3\dot H\dot\phi+3H\ddot\phi=-V''\dot\phi\implies\delta=V''/2H^2-\epsilon,\eta_V\approx M_{pl}^2\,V''/V$ | 0.40 |
|
| 7 $\mathrm dN=H\,\mathrm dt=(H/\dot\phi)\,\mathrm d\phi\approx-\frac1{M_{pl}^2}V/V'\,\mathrm d\phi$ | 0.30 |
|
| 1 $V(\phi)=\Lambda^4(\phi/M_{pl})^n\implies\epsilon\frac{M_{pl}^2}2\left[\frac n{\phi_{end}}\right]^2=1\implies\phi_{end}=nM_{pl}/\sqrt2$ | 0.50 |
|
| 1 Получен ответ $N=-\left[\frac\phi{M_{pl}}\right]^2\frac1{2n}+\frac n4$ | 0.20 |
|
| 2 $\eta_V=n(n-1)\left[M_{pl}/\phi\right]^2=\cfrac{2(n-1)}{n-4N}$ | 0.20 |
|
| 3 $\varepsilon=\cfrac{n^2}2\left[M_{pl}/\phi\right]^2=\cfrac n{n-4N}$ | 0.20 |
|
| 4 $r=16\varepsilon=\cfrac{16n}{n-4N}$ | 0.10 |
|
| 5 $n_s=1+2\eta_V-6\epsilon=1-\cfrac{2(n+2)}{n-4N}$ | 0.10 |
|
| 6 $n(n_s)=-5.93\text{, но при }n=-5\text{ или }n=-6\text{ не выполняется условие на }r$ | 0.10 |
|