Термины «лазерное охлаждение» и «оптическая патока» относятся к охлаждению (замедлению) пучка нейтральных атомов с помощью распространяющихся в противоположных направлениях лазерных пучков одной и той же частоты. Область захвата, называемая «оптической патокой», лежит на пересечении трёх взаимно перпендикулярных пар противоположно направленных лазерных пучков. Оптическая диссипативная сила (трение) напоминает силу вязкости, действующую на тело, которое движется сквозь патоку.

Основы лазерного охлаждения

Для простоты рассмотрим одномерную задачу, то есть не будем принимать во внимание оси $y$ и $z$. Пусть атом с массой $m$ движется в направлении $+x$ со скоростью $v$ и обладает двумя внутренними энергетическими состояниями с разницей энергий $\hbar\omega_0$, где $\hbar=h/2\pi$ (см. рис). Первоначально он находится в нижнем энергетическом состоянии, и его энергию можно принять равной нулю. Луч лазера с частотой $\omega_L$ распространяется в направлении $−x$ и взаимодействует с атомом. Пучок лазера состоит из большого числа фотонов, каждый из которых обладает энергией $\hbar\omega_L$ и импульсом $-\hbar q$ (см. рис). Атом может поглотить фотон и после этого излучить другой фотон за счёт спонтанного излучения. Вероятность спонтанного излучения в направлении $+x$ и $−x$ одна и та же. Атомы движутся с нерелятивистскими скоростями $v\ll c$ (где $c$ — скорость света). Также имейте в виду, что $\hbar q/mv\ll1$, то есть импульс атома значительно больше импульса одиночного фотона. При написании ответов приводите лишь результаты, линейные по отношению к указанным величинам (т. е. сохраняйте в ответах лишь величины первого порядка малости). Пусть частота лазера $\omega_L$ такова, что для движущегося атома она находится в резонансе с частотой внутреннего перехода. Ответьте на следующие вопросы.

Часть А. Поглощение

A1  ^0.20 Запишите условие резонансного поглощения фотона.

A2  ^0.20 Запишите выражение для импульса атома $p_{at}$ после поглощения фотона в лабораторной системе отсчёта

A3  ^0.20 Запишите выражение для полной энергии атома $\varepsilon_{at}$ после поглощения фотона в лабораторной системе отсчёта.

Часть B. Спонтанное излучение фотона в направлении $-x$

Через некоторое время после поглощения фотона атом может излучить другой фотон в направлении $-x$.

B1  ^0.20 Запишите выражение для энергии фотона $\varepsilon_{ph}$, излучённого в направлении $-x$ в лабораторной системе отсчёта.

B2  ^0.20 Запишите выражение для импульса фотона $p_{ph}$, излучённого в направлении $-x$ в лабораторной системе отсчёта.

B3  ^0.20 Запишите выражение для импульса атома $p_{at}$ после процесса излучения фотона в направлении $-x$ в лабораторной системе отсчёта.

B4  ^0.20 Запишите выражение для полной энергии атома $\varepsilon_{at}$ после процесса излучения фотона в направлении $-x$ в лабораторной системе отсчёта.

Часть C. Спонтанное излучение фотона в направлении $+x$

Через некоторое время после поглощения фотона другой атом может излучить фотон в направлении $+ x$.

C1  ^0.20 Запишите выражение для энергии фотона $\varepsilon_{ph}$, излучённого в направлении $+x$ в лабораторной системе отсчёта.

C2  ^0.20 Запишите выражение для импульса фотона $p_{ph}$, излучённого в направлении $+x$ в лабораторной системе отсчёта.

C3  ^0.20 Запишите выражение для импульса атома $p_{at}$ после процесса излучения фотона в направлении $+ x$ в лабораторной системе отсчета.

C4  ^0.20 Запишите выражение для полной энергии атома $\varepsilon_{at}$ после процесса излучения фотона в направлении $+ x$ в лабораторной системе отсчёта.

Часть D. Усреднённое излучение после поглощения

Имейте в виду, что спонтанное излучение фотона происходит с одинаковой вероятностью в направлениях $- x$ или $+ x$.

D1  ^0.20 Запишите выражение для средней энергии излучённого фотона $\varepsilon_{ph}$.

D2  ^0.20 Запишите выражение для среднего значения импульса излучённого фотона $p_{ph}$ .

D3  ^0.20 Запишите выражение для средней энергии атома $\varepsilon_{at}$ после процесса излучения фотона.

D4  ^0.20 Запишите выражение для среднего значения импульса атома $p_{at}$ после процесса излучения фотона.

Часть E. Передача энергии и импульса

Если принять, что процесс поглощения и излучения одного фотона происходит так, как он описан выше, в среднем существует передача энергии и импульса от лазерного излучения к атому.

E1  ^0.20 Запишите выражение для среднего изменения энергии атома $\Delta \varepsilon$ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

E2  ^0.20 Запишите выражение для среднего изменения импульса атома $\Delta p$ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

Часть F. Передача энергии и импульса лазерным пучком, распространяющимся в направлении $+ x$

Пусть лазерный луч с частотой $\omega'_L$ распространяется в направлении $+ x$, в то время как атом движется в направлении $+ x$ со скоростью $v$. Предполагая наличие резонансных условий между внутренним переходом атома и лазерным излучением, ответьте на следующие вопросы.

F1  ^0.30 Запишите выражение для среднего изменения энергии атома $\Delta \varepsilon$ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

F2  ^0.30 Запишите выражение для среднего изменения импульса атома $\Delta p$ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

Диссипация энергии и явление «оптической патоки»

Квантовые процессы в природе имеют внутренне присущую им неопределённость. Поэтому из за того, что время между поглощением и излучением фотона конечно, резонансное условие не должно выполняться точно, как мы предполагали до сих пор. То есть частоты лазерных пучков $\omega_L$ и $\omega'_L$ могут быть произвольными, но поглощение и излучение всё равно будут происходить, правда, с различными (квантовыми) вероятностями, и наибольшая вероятность будет соответствовать точному резонансу. Среднее время между поглощением и излучением одного фотона называется временем жизни возбуждённого уровня и обозначается $Г^{-1}$.
Рассмотрим коллектив из $N$ атомов, покоящихся в лабораторной системе отсчета, и луч лазера с частотой $\omega_L$, который с ними взаимодействует. Атомы поглощают и излучают непрерывно, так что в среднем имеется $N_{exc}$ атомов в возбуждённом состоянии (и $N-N_{exc}$ в основном). Квантово-механическое рассмотрение приводит к следующему результату: 
$$N_{exc}= N\frac{\Omega^2_R}{(\omega_0-\omega_L)^2+\frac{Г^2}{4}+2\Omega^2_R}$$
где $\omega_0$ — резонансная частота атомного перехода, а $\Omega_R$ — так называемая частота Раби; $\Omega^2_R$ пропорциональна интенсивности лазерного пучка. Как уже было сказано, эта величина отлична от нуля, даже если резонансная частота $\omega_0$ отличается от частоты лазерного пучка $\omega_L$. Другой способ выражения того же результата состоит в том, что количество процессов поглощения-излучения в единицу времени равно $N_{exc}Г$.
Рассмотрим физическую ситуацию (см. рис), где два распространяющихся в противоположных направлениях лазерных пучка имеют одинаковую, но произвольную частоту $\omega_L$, и взаимодействуют с газом из $N$ атомов, которые движутся в направлении $+x$ со скоростью $v$.

Часть G. Сила, действующая на атомный пучок со стороны лазеров

G1  ^1.50 Используя предыдущую информацию, найдите силу, с которой лазерные пучки действуют на атомы. Считайте, что $mv\gg\hbar q$.

Часть H. Предел малой скорости

Предполагая, что скорость атомов достаточно мала, можно получить выражение для силы в первом порядке малости по $v$.

H1  ^1.50 Найдите выражение для силы, полученной в вопросе G1 для этого приближения.

Используя этот результат, вы можете получить условия для ускорения или замедления атомов излучением, или для отсутствия эффекта.

H2  ^0.25 Запишите условие для получения положительной силы (ускорение атомов).

H3  ^0.25 Запишите условие получения нулевой силы.

H4  ^0.25 Запишите условие получения отрицательной силы (замедление атомов).

H5  ^0.25 Теперь предположим, что атомы движутся со скоростью $-v$ (в направлении $-x$). Запишите условие получения отрицательной силы (замедления атомов).

Часть I. «Оптическая патока»

В случае отрицательной силы возникает диссипация (трение). Предположим, что первоначально при $t=0$ газ из атомов имеет скорость $v_0$.

I1  ^1.50 В пределе малых скоростей найдите скорость атомов через время $\tau$ после включения лазера.

I2  ^0.50 Теперь предположите, что газ из атомов находится в тепловом равновесии при температуре $T_0$. Найдите температуру $T$ после того, как пучки были выключены через время $\tau$.

Примечание: Это приближение нельзя использовать для достижения произвольно низкой температуры.