Газообразные продукты горения из топки выводятся в атмосферу, имеющую температуру $T_{воз}$, с помощью высокой дымовой трубы с поперечным сечением $S$ и высотой $h$ (см. рис). В топке происходит сгорание твёрдого топлива при температуре $T_{дым}$. Объём газов, выходящих из трубы за единицу времени, равен $B$.

Предполагается, что:

• скоростью газов на входе в топку можно пренебречь;
• образовавшиеся газы имеют такую же плотность, как и воздух при тех же температуре и давлении; пока газ находится в топке, его можно рассматривать как идеальный;
• давление воздуха изменяется с высотой в соответствии с законами гидростатики; изменением плотности воздуха с высотой можно пренебречь;
• течение газов удовлетворяет уравнению Бернулли, которое утверждает, что величина $$\frac12\rho v^2(z)+\rho gz+p(z)=\operatorname{const}$$ сохраняется в любой точке потока; здесь $\rho$ — плотность газа, $v(z)$ — его скорость, $p(z)$ — его давление, $z$ — высота;
• изменением плотности газов вдоль трубы можно пренебречь.

A1  ^3.50 Какова должна быть минимальная высота трубы для обеспечения её нормальной работы, чтобы она могла отводить в атмосферу все образующиеся в топке тазы? Выразите результат через $B,S,T_{воз}, g=9.81~м/с^2, \Delta T=T_{дым}-T_{воз}$ Внимание! В каждом последующем задании предполагается, что высота трубы как раз равна найденной здесь минимальной высоте.

A2  ^0.50 Предположим, что построены две дымовые трубы, предназначенные для одних и тех же целей Они имеют одинаковое поперечное сечение, но предназначены для работы в различных местностях: одна — в холодной местности, где средняя температура воздуха равна $t_1=-30~^\circ\mathrm C$, а другая — в тёплой местности, где средняя температура воздуха равна $t_2=30~^\circ\mathrm{C}$. Температура выделяющихся газов составляет $t_\text{дым}=400~^\circ\mathrm C$. Если расчётная высота трубы в холодной местности равна $h_1=100~м$, то какова должна быть высота трубы $h_2$ в тёплой местности?

A3  ^0.60 Как изменяется скорость течения газов вдоль трубы? Постройте график этой зависимости, предполагая, что поперечное сечение трубы постоянно. Обозначьте на графике точку вхождения газов в трубу.

A4  ^0.50 Как изменяется давление газов с высотой внутри трубы?

Солнечная электростанция

Движение газов через трубу можно использовать для создания солнечной электростанции. Идею такой электростанции иллюстрирует рисунок. Солнце нагревает воздух под коллектором площадью $S_k$, который открыт по периметру, чтобы воздух мог свободно поступать внутрь. Тёплый воздух поднимается вверх по дымоходу (тонкие сплошные стрелки), а холодный поступает в коллектор извне (толстые пунктирные стрелки), тем самым обеспечивается непрерывная циркуляция воздуха. Поток воздуха приводит в движение турбину, таким образом вырабатывается электрическая энергия. Энергию солнечного излучения, падающего на единицу площади поверхности коллектора за единицу времени, обозначим через $G$. Предположим, что вся эта энергия идёт на нагревание воздуха в коллекторе (удельная теплоёмкость воздуха равна $c$, eë зависимостью от температуры можно пренебречь). КПД солнечной электростанции на основе трубы определим как отношение кинетической энергии потока воздуха в трубе к энергии солнечного излучения, идущей на нагревание этой же массы воздуха перед поступлением в трубу.

B1  ^2.00 Каков КПД солнечной электростанции на основе трубы? Ответ выразите через $g$, $c$, $T_\text{атм}$ и высоту трубы $h$.

B2  ^0.40 Постройте график, показывающий, как изменяется КПД электростанции в зависимости от высоты трубы.

Опытная электростанция в Манзанаресе.

Опытная солнечная электростанция на основе трубы, построенная в Манзанаресе (Испания), имеет трубу высотой $h=195~м$ и радиусом $R=5~м$, диаметр коллектора равен $D=224~м$. Удельная теплоёмкость воздуха $c=1012~Дж/(кг\cdot К)$, плотность нагретого воздуха $\rho=0.9~кг/м^3$ средняя температура окружающего воздуха $T_{атм}=295~К$. В Манзанаресе в течение солнечного дня Мощность солнечного излучения на единицу площади в среднем равна $G=150~Вт/м^2$.

C1  ^0.30 Чему равен КПД опытной электростанции? Оцените его численно.

C2  ^0.40 Какова максимальная мощность опытной электростанции?

C3  ^0.30 Сколько энергии даёт электростанция в течение одного типичного солнечного дня?

D1  ^1.00 На сколько возрастёт температура воздуха при входе в трубу (теплый воздух) относительно температуры окружающего воздуха (холодный воздух)? Запишите общую формулу и сделайте оценку для опытной электростанции.

D2  ^0.50 Чему равен массовый поток воздуха через систему?