Часть А. Принцип экстремума в механике (1.5 балла)

Рассмотрим гладкую горизонтальную плоскость $xy$ (рис. 1). Она разделена на две области $\mathrm{I}$ и $\mathrm{II}$ линией $AB$, которая удовлетворяет уравнению $x=x_1$. Потенциальная энергия точечной частицы массы $m$ равна нулю ($V=0$) в области $\mathrm{I}$ и в области $\mathrm{II}$. Частица начинает двигаться из начала координат $O$ со скоростью $v_1$ по прямой, направленной под углом $\theta_1$ к оси $x$. Она достигает точки $P$ в области $\mathrm{II}$, имея скорость $v_2$, направленную под углом $\theta_2$ к оси $x$. Силой тяжести и релятивистскими эффектами можно пренебречь во всех пунктах этой задачи.

A1  ^0.20 Получите выражение для $v_2$ через $m$, $v_1$ и $V_0$.

A2  ^0.30 Выразите $v_2$ через $v_1$, $\theta_1$ и $\theta_2$.

Определим величину, называемую действием $A=m \displaystyle\int v(s)\,\mathrm ds$, где $\mathrm ds$ – бесконечно малый элемент длины вдоль траектории частицы массы $m$, движущейся со скоростью $v(s)$. Интеграл берется вдоль траектории. Например, для частицы, движущейся с постоянной скоростью $v$ по окружности радиуса $R$, действие $A$ за один оборот равно $2\pi mRv$. Можно показать, что для частицы с постоянной энергией $E$, из всех возможных траекторий между двумя фиксированными точками реализуется та, вдоль которой действие $A$, определенное выше, имеет экстремум (минимум или максимум). Это утверждение известно как принцип наименьшего действия (ПНД).

A3  ^1.00 ПНД подразумевает, что траектория частицы, движущейся между двумя фиксированными точками в области постоянного потенциала, – это прямая. Пусть координаты двух фиксированных точек $O$ и $P$ (рис. 1) – это $(0,0)$ и $(x_0, y_0)$ соответственно; а $(x_1, \alpha)$ – это координаты точки на границе, где частица переходит из области $\mathrm{I}$ в область $\mathrm{II}$. Отметим, что величина $x_1$ фиксирована, и действие $A$ зависит только от координаты $\alpha$. Получите выражение для действия $A(\alpha)$. Используя ПНД, получите соотношение между $v_1/v_2$ и упомянутыми координатами.

Часть В. Принцип экстремума в оптике (4 балла)

Луч света переходит из среды $\mathrm{I}$ в среду $\mathrm{II}$ с показателями преломления $n_1$ и $n_2$ соответственно. Эти две среды разделены линией, параллельной оси $x$. Луч света распространяется под углом $i_1$ к оси $y$ в среде $\mathrm{I}$ и под углом $i_2$ в среде $\mathrm{II}$. Чтобы получить траекторию луча, воспользуемся другим принципом экстремума (максимума или минимума) – принципом наименьшего времени Ферма.

B1  ^0.50 Принцип утверждает, что между двумя фиксированными точками луч света движется по такому пути, что время движения имеет экстремум. Получите соотношение между $\sin i_1$ и $\sin i_2$, исходя из принципа Ферма.

На рис. 3 схематически показана траектория лазерного луча, падающего горизонтально на раствор сахара, в котором концентрация сахара уменьшается с высотой. Следовательно, показатель преломления раствора также уменьшается с высотой.

B2  ^1.50 Пусть показатель преломления $n(y)$ зависит только от $y$. Используя уравнение, полученное в пункте B1, получите выражение для углового коэффициента касательной к пути луча $\mathrm dy/\mathrm dx$. Выразите его через показатель преломления $n_0$ (при $y=0$) и $n(y)$.

B3  ^1.20 На рис. 3 показано, что лазерный луч направлен горизонтально из начала координат $(0,0)$ в раствор сахара. Он входит в раствор на расстоянии $y_0$ от дна сосуда. Считайте, что $n(y)=n_0-ky$, где $n_0$ и $k$ – положительные константы. Получите выражение для траектории лазерного луча в таком сосуде, т.е. найдите, как $x$ зависит от $y$ и остальных параметров задачи.

Примечание.\[\int \sec \theta\,\mathrm d \theta=\ln (\sec \theta+\tan \theta)+\operatorname{const},\]где $\sec \theta=1 / \cos \theta$ или \[\int \frac{\mathrm d x}{\sqrt{x^2-1}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)+ \mathrm {const}.\]

B4  ^0.80 Рассчитайте значение $x_0$ точки, в которой луч падает на дно сосуда. Считайте, что $y_0=10.0~см$, $n_0=1.50$, $k=0.050~см^{-1}$.

Часть С. Принцип экстремума и волновая природа материи (1.8 балла)

Теперь исследуем связь между ПНД и волновой природой движущейся частицы. Для этого предположим, что частица, движущаяся из точки $O$ в точку $P$ может выбирать все возможные траектории. Будем искать траекторию, соответствующую взаимоусиливающей интерференции волн де Бройля.

C1  ^0.60 Пусть частица переместилась на бесконечно малое расстояние $\Delta s$ вдоль своей траектории. Свяжите изменение фазы $\Delta \varphi$ ее волны де Бройля с изменением действия $\Delta A$ и постоянной Планка.

C2  ^1.20 Рассмотрим две крайние траектории $OCP$ и $ODP$, причем $OCP$ соответствует классической траектории, рассмотренной в части A. Найдите в первом приближении разность фаз $\Delta \varphi _{CD}$ между двумя траекториями.

Часть D. Интерференция волн материи (2.7 балла)

Электронная пушка, находящаяся в точке $O$, направляет коллимированный пучок электронов на узкую щель в точке $F$ в непрозрачной перегородке $A_1B_1$. Перегородка расположена на линии $x=x_1$, так что $OFP$ – это прямая. $P$ – это точка на экране при $x=x_1$ (рис. 5). Скорость в области $\mathrm{I}$ равна $v_1=2.0000 \cdot 10^7 м/с$, угол $\theta = 10.0000^\circ$. Потенциал в области $\mathrm{II}$ выбран так, что скорость $v_2=1.9900\cdot 10^7 м/с$. Расстояние $x_0-x_1$ равно $250.00~мм$. Взаимодействием между электронами пренебречь.

D1  ^0.30 Рассчитайте ускоряющий потенциал $U_1$, считая, что электроны ускоряются в точке $O$ из состояния покоя.

D2  ^0.80 В перегородке $A_1B_1$, ниже щели $F$ на расстоянии $215.00~нм$ ($1 ~нм=10^{-9}~м$), проделали еще одну такую же щель $G$. Разность фаз между волнами де Бройля, пришедшими в точку $P$ через щели $F$ и $G$, может быть представлена как $2\pi \beta$. Вычислите $\beta$.

D3  ^1.20 Чему равно наименьшее расстояние $\Delta y$ от точки $P$ до точки на экране, в которой вероятность обнаружить электрон равна нулю?

Примечание. $\sin (\theta + \Delta\theta)\approx \sin\theta + \Delta\theta\cos\theta$.

D4  ^0.40 Луч имеет квадратное сечение $500~нм\times 500~нм$, длина установки – $2~м$. Какова минимальная плотность потока электронов $I_{\min}$, если в среднем в установке в любой момент времени имеется хотя бы один электрон? Плотность потока электронов – это количество электронов, проходящих в единицу времени через единичную площадку по нормали к ней.