В данной задаче рассматриваются «нелинейные резисторы». Напряжение $U$ на таком резисторе пропорционально квадрату силы текущего через резистор тока $I$ (с соблюдением полярности): $U=\alpha I|I|$. Постоянный коэффициент $\alpha$ является характеристикой данного нелинейного резистора.

Часть I: нелинейность и постоянный ток

Предположим, что у нас есть три одинаковых нелинейных резистора, характеризующихся коэффициентом $\alpha$, три одинаковых источника постоянного напряжения с пренебрежимо малым внутренним сопротивлением, один обычный резистор, один диод и практически идеальный амперметр. Известно, что при подключении к одному источнику напряжения одного нелинейного резистора, так же как и при подключении к одному источнику обычного резистора через источник течет ток силой $I_{0}=1~А$. Из всех перечисленных выше элементов собрали цепь согласно схеме, изображенной на рисунке ниже. Нелинейный резистор условно изображается прямоугольником с «волной» внутри него.

На рисунке ниже показан участок вольт-амперной характеристики диода. Масштабные единицы по горизонтальной оси напряжений неизвестны, но известно, что сила тока через диод, равная $I_{0}$, достигается при напряжении, в $5$ раз меньшем ЭДС каждого из источников.

1.1  ^0.30 Запишите полную систему уравнений, определяющих токи во всех ветвях цепи, изображенных на схеме вертикально. В систему уравнений должно войти напряжение $U$ на параллельных ветвях цепи, а также ЭДС $\mathcal{E}$ источника напряжения, сопротивление $R$ резистора и коэффициент $\alpha$.

1.2  ^1.20 Найдите показания амперметра в цепи с точностью не хуже $10\%$. Сопротивление соединительных проводов пренебрежимо мало. Ответ выразите в Амперах, укажите доверительный интервал для полученного результата.

Часть II: нелинейность и разряд конденсатора

Теперь подключим нелинейный резистор с другой характеристикой $\alpha$ к обкладкам заряженного конденсатора (см. рисунок ниже) с помощью соединительных проводов. Если соединительные провода сильно охладить, переведя их в сверхпроводящее состояние, то конденсатор полностью разрядится за время $t_{0}=0.02~с$. На свойства «нелинейного резистора» температура не влияет.

2.1  ^0.60 Выразите $t_{0}$ через емкость $C$ конденсатора, его начальный заряд $q_{0}$ и характеристику $\alpha$ нелинейного резистора.

2.2  ^0.30 При разряде конденсатора только через эти соединительные провода при нормальной температуре заряд конденсатора убывает в $e$ раз за время $\tau=1~мс$ ($e$ – основание натурального логарифма). Как связано время $\tau$ с сопротивлением $r$ проводов? Выведите и запишите формулу.

2.3  ^0.90 За какое время $t$ ток в цепи конденсатора уменьшится от начального значения $I_{0}$ до некоторого значения $I$, если разрядка идет через нелинейный резистор и при нормальной температуре? Ответ приведите в виде формулы, в которую должны войти величины $r$, $C$, $\alpha$, $I$ и $I_{0}$.

2.4  ^1.20 Найдите время $t_{1}$, за которое заряд конденсатора уменьшится в $n = 10 000$ раз при разряде через провода и «нелинейный резистор» при нормальной температуре. Получите аналитический ответ, выразив $t_{1}$ через $t_{0}$, $\tau$ и $n$, а также дайте численный ответ с точностью не хуже $10\%$ (в миллисекундах).

Часть III: нелинейность и затухающие колебания

В следующем эксперименте в цепь разряда конденсатора включили нелинейный резистор с новой характеристикой $\alpha$ и сверхпроводящую катушку индуктивностью $L$ (см. рисунок ниже).

Соединительные провода тоже поддерживаются в сверхпроводящем состоянии. В этом случае в контуре возникают затухающие колебания, и, когда сила тока в контуре впервые после начала разряда конденсатора обращается в ноль, величина заряда конденсатора оказывается на $10\%$ меньше первоначального.

3.1  ^1.20 Пусть в некий момент времени до окончания первого полупериода колебаний заряд на конденсаторе уменьшился от начального значения $q_{0}$ до некоторого значения $q$. Какой будет сила тока в контуре к этому моменту времени? Ответ дайте в виде формулы, выразив его через $\alpha$, $L$, $C$, $q$ и $q_{0}$. Полезно иметь в виду, что в механике, когда нужно решать сложное нелинейное уравнение движения, пробуют привести его к виду, выражающему закон изменения энергии – часто это сильно упрощает решение.

3.2  ^1.20 Определите, какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе до того момента, когда заряд конденсатора впервые стал равным нулю. Ответ дайте в процентах с точностью не хуже $10\%$ от результата.

3.3  ^0.90 Какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе к тому моменту, когда сила тока впервые после начала колебаний стала равна нулю? Ответ дайте в процентах.

3.4  ^1.20 Какая часть первоначальной энергии конденсатора выделилась в виде теплоты в нелинейном резисторе к тому моменту, когда заряд конденсатора во второй раз стал равным нулю? Ответ дайте в процентах с точностью не хуже $10\%$ от результата.

НАПОМИНАНИЕ. Коэффициент пропорциональности $\alpha$ между напряжением и квадратом силы тока у нелинейных резисторов из разных частей задачи разный!