В далекой-далекой галактике вокруг звезды $X$ по почти идеальной круговой орбите вращается планета-океан. Ось собственного вращения планеты перпендикулярна плоскости орбиты, а угловая скорость этого вращения равна угловой скорости вращения планеты вокруг звезды (оба вращения происходят в одном направлении). Сама планета в значительной мере состоит из воды, однако внутри нее есть твердое ядро, в котором происходят процессы ядерного распада и гравитационной дифференцировки недр, порождающие дополнительный поток теплоты, идущий изнутри планеты. При этом вся поверхность планеты снаружи покрыта льдом. Ледяная поверхность шероховатая и загрязненная космической пылью, поэтому на дневной стороне она прогревается достаточно быстро, и при этом излучение в космос идет практически только с поверхности планеты.

Данные о системе $X$ и не только о ней (могут быть использованы в любой части работы):

• радиус звезды $X$ равен $R_{X} = 7\cdot10^{8}~м$; • радиус орбиты планеты-океана $r_{o} = 7\cdot 10^{11}~м$; • ускорение свободного падения на поверхности планеты-океана $g = 1~м/с^{2}$; • максимальная температура на экваторе дневной стороны планеты-океана $T_{2} = 100~К$, а температура на полюсе $T_{1} = 50~К$; • плотность воды $\rho_{0} \approx 1~г/см^{3}$, плотность льда $\rho \approx 0.9~г/см^{3}$; • удельная теплота плавления льда $\lambda \approx 340~Дж/г$, удельная теплота парообразования воды $L \approx 2250~Дж/г$; • фазовая диаграмма воды представлена ниже:

• зависимость коэффициента теплопроводности льда $\chi$ от абсолютной температуры $T$ в интересующем нас диапазоне температур с точностью не хуже $5\%$ описывается интерполяционной формулой $\chi(T)≈5.40~Вт/(м \cdot К)\cdot \left[1-\frac{T}{465~К}\right]$; • постоянная Стефана-Больцмана $\sigma \approx 5.67 \cdot 10^{–8}~Вт/(м^{2}\cdot К^{4})$. • максимум спектральной плотности излучения Солнца (то есть отношения мощности излучения $\Delta P$, приходящейся на заданный малый интервал длин волн, к величине этого интервала $\Delta \Lambda$) соответствует длине волны $\Lambda_{S} \approx 480~нм$, а температура большей части поверхности фотосферы Солнца близка к $T_{S} \approx 6000~K$.

Часть I: тепловой баланс и ледяной покров

1.1  ^3.00 Найдите плотность $q_{0}$ потока теплоты, идущего наружу из недр планеты-океана. Выразите $q_{0}$ через величины, заданные в условии задачи (получите формулу) и подсчитайте численное значение с точностью не хуже $5\%$. Ответ выразите в $Вт/м^{2}$.

1.2  ^3.00 Найдите толщину $H_{1}$ ледяного покрова на полюсе. Выразите $H_{1}$ через величины, заданные в условии задачи (получите формулу) и подсчитайте численное значение с точностью не хуже $10\%$. Ответ выразите в метрах.

1.3  ^2.00 Оцените толщину $H_{2}$ ледяного покрова на экваторе с дневной стороны планеты-океана в зоне максимальной температуры. Выразите $H_{2}$ через величины, заданные в условии задачи (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ выразите в метрах.

1.4  ^3.00 Определите температуру $T_{X}$ фотосферы звезды. Выразите $T_{X}$ через величины, заданные в условии задачи (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ выразите в градусах Кельвина.

1.5  ^2.00 Получите зависимость максимальной дневной температуры $T$ поверхности планеты от широты $\theta$ (выведите формулу).

1.6  ^1.00 Определите длину волны $\Lambda_{X}$, на которую приходится максимум спектральной плотности излучения звезды $X$. Ответ дайте в нм.

Часть II: полынья и кратер

Пусть на экваторе в области, где температура максимальна, на участке поверхности достаточно большой площади (размеры этого участка порядка толщины льда, но намного меньше радиуса планеты) очень быстро и <<бесследно>> исчез весь слой льда, то есть образовалась полынья.

2.1  ^3.00 Оцените время $\tau$ подъема воды в полынье до нового равновесного уровня (время отсчитывается от момента исчезновения льда). Выразите $\tau$ через величины, заданные в условии задачи, и через ранее найденные величины (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ дайте в секундах.

2.2  ^5.00 Оцените, какова будет толщина $h_{0}$ слоя льда в полынье сразу после смерзания ледяного слоя на ее поверхности. Выразите $h_{0}$ через величины, заданные в условии задачи (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ дайте в метрах.

2.3  ^2.00 Оцените глубину $h_{c}$ <<кратера>>, который останется на поверхности льда в том месте, где была полынья, через достаточно большое время. Ответ дайте в метрах.

Считайте, что испарение и замерзание воды происходит непосредственно в процессе подъема ее уровня, но окончательное смерзание ледяного слоя на поверхности воды происходит после того, как она почти остановилась на подходе к ее новому уровню.

Часть III: замерзание тоннеля

Рассмотрим процессы, которые будут происходить после образования в полынье начальной корки льда. Будем считать, что температура поверхности этой корки достаточно быстро сравняется с температурой на поверхности планеты. Ясно, что на нижней кромке ледяного слоя будет происходить замораживание воды, и толщина слоя будет продолжать расти.

3.1  ^5.00 Оцените, за какое время $t_{1}$ толщина слоя возрастет в два раза по сравнению с начальной толщиной $h_{0}$? Выразите $t_{1}$ через величины, заданные в условии задачи, и через ранее найденные величины (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ дайте в земных днях.

3.2  ^4.00 Оцените возраст $t_{2}$ полыньи, толщина льда в которой $h = 100~м$. Выразите $t_{2}$ через величины, заданные в условии задачи, и через ранее найденные величины (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ дайте в земных годах.

3.3  ^7.00 Оцените возраст $t_{3}$ полыньи, нижняя кромка льда в которой сравнялась с нижней кромкой окружающего льда. Выразите $t_{3}$ через величины, заданные в условии задачи, и через ранее найденные величины (получите формулу) и подсчитайте численное значение. Ответ дайте в земных годах.