Несмотря на то, что атомное ядро --- квантовый объект, некоторые закономерности, касающиеся его свойств (таких как радиус и энергия связи), можно вывести из нескольких простых положений: 

1. ядро состоит из нуклонов (протонов и нейтронов);
2. ядерные силы, связывающие нуклоны в ядре, являются короткодействующими (они действуют только между соседними нуклонами);
3. количество протонов $(Z)$ в ядре приблизительно равно количеству нейтронов $(N)$, то есть $Z\approx 
   N\approx A/2$, где $A$ --- общее количество нуклонов ($A\gg1$).

1. Атомное ядро как плотно упакованная система нуклонов

Атомное ядро как плотно упакованная система нуклонов. Согласно простейшей модели, ядро можно представить как шар, плотно заполненный нуклонами, которые представляют собой шарики радиуса $r_N=0.85~фм (1~фм=10^{-15}~м)$. Ядерные силы действуют только при непосредственном контакте двух нуклонов. Объём ядра $V$ больше суммы объёмов нуклонов $AV_N$, где $V_N=\frac43\pi r^3_N$ — объём нуклона. Отношение $f=AV_N/V$ называется фактором упаковки и представляет собой относительную часть объёма, заполненную ядерным веществом.

A1  ^0.30 Определите фактор упаковки $f$, если нуклоны упакованы как в простой кубической кристаллической решётке (англ. simple cubic, SC), где каждый нуклон занимает место в вершинах куба (см. рис).

Внимание! В каждом последующем задании считайте фактор упаковки атомных ядер равным фактору упаковки, полученному в задании A1. Если вы не смогли его вычислить, в дальнейшем используйте $f=1/2$.

A2  ^1.00 Оцените среднюю плотность массы $\rho_m$ плотность заряда $\rho_q$ и радиус $R$ ядра, имеющего $A$ нуклонов. Средняя масса нуклона равна $1.67\cdot 10^{-27}~ кг$.

2. Энергия связи атомных ядер — объёмные и поверхностные факторы

Энергия связи это энергия, необходимая для разделения ядра на отдельные нуклоны. Если данный нуклон находится внутри ядра, то он вносит в полную энергию связи энергию $a_V=15.8~МэВ$, $(1~МэВ=1.602\cdot10^{-13}~Дж)$. Вклад одного нуклона, находящегося на поверхности ядра, в общую энергию связи приблизительно равен $a_V/2$.

B1  ^1.90 Выразите энергию связи ядра $E_b$, содержащего $A$ нуклонов, через вели-чины $A$, $a_V$ и $f$. Сделайте поправку на то, что часть нуклонов находится на поверхности ядра.

3. Влияние электростатических (кулоновских) сил на энергию связи

Электростатическая энергия однородно по объему заряженного шара радиуса $R$ (общий заряд $Q$) равна $U_C=\cfrac{3Q^2_0}{20\pi\varepsilon_0 R}$, где $\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}~Кл^2\cdotН^{-1}\cdot м^{-2}$.

C1  ^0.40 Используя эту формулу, выразите электростатическую энергию ядра. В ядре между протонами действуют кулоновские силы, причём сам на себя протон кулоновскими силами не действует. Это обстоятельство можно учесть путём замены $Z^2\to Z(Z-1)$. Используйте данную поправку в дальнейших расчётах.

C2  ^0.30 Запишите полную формулу для энергии связи, включающую основной (объёмный) фактор, а также поправки на поверхностную энергию и энергию электростатического взаимодействия протонов.

4. Деление тяжёлых ядер

Деление ядер — это процесс расщепления ядра на части (на более лёгкие ядра). Предположите, что ядро с $A$ нуклонами распадается на два одинаковых осколка.

4.a  ^1.30 Подсчитайте общую кинетическую энергию $E_{кин}$ в момент, когда центры этих осколков находятся на расстоянии $d≥2R(A/2)$, где $R(A/2)$ — радиус каждого осколка. Большое ядро в начальный момент времени находилось в состоянии покоя.

4.b  ^1.00 Предположим, что $d=2R(A /2)$. Подсчитайте $E_{кин}$ по формуле, полученной в части а), для ядер с $A = 100,\,150,\,200,\,250$ (результат выразите в МэВ). Оцените, для каких значений $A$ возможно деление ядра в рамках данной модели?

5. Реакции передачи

5.a  ^2.20

В современной физике энергетические свойства ядер и ядерные реакции описываются в единицах массы Например, если ядро (имеющее нулевую скорость), находится в возбуждённом состоянии с энергией выше основного состояния на величину $E_{воз}$, его масca $m=m_0+E_{воз}/c^2$, где $m_0$ — масса покоящегося ядра в основном состоянии. Ядерная реакция $^{16}\mathrm O+^{54}\mathrm {Fe}\to ^{12}\mathrm C+^{58}\mathrm {Ni}$ — это пример так называемой реакции передачи, в которой некоторая часть одного ядра (<<кластер>>) переходит в другое ядро. В нашем примере передаваемая другому ядру часть — это $^4 \mathrm{He}$ ($\alpha$ - частица). Реакции передачи проходят с максимальной вероятностью, если скорость продукта реакции (в нашем случае $^{12}\mathrm C$) равна по модулю и направлению скорости налетающей частицы (в нашем случае $^{16}\mathrm O$). Мишень $^{54}\mathrm{Fe}$ первоначально находится в состоянии покоя. Ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ оказывается в одном из возбуждённых состояний. Найдите энергию возбуждённого состояния (и выразите её в МэВ), если кинетическая энергия налетающего ядра $^{16}\mathrm O$ равна $50~МэВ$. Ниже в таблице представлены массы покоя частиц в основном состоянии. $1~а.е.м=1.6605\cdot 10^{-27}~кг$.

5.b  ^1.60 Образовавшееся ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ (из задания $a$), находящееся в возбуждённом состоянии, переходит в основное состояние, испуская при этом гамма-квант в направлении движения Рассмотрите реакцию в системе отсчёта, в которой ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ покоится, и найдите энергию отдачи $E_{отд}$ (то есть, кинетическую энергию $^{58}\mathrm {Ni}$ после испускания гамма кванта). Какова энергия гамма-кванта $E_{\gamma}$ в этой системе отсчёта? Какова энергия гамма-кванта $E_{дет}$ в лабораторной системе отсчёта (то есть какой будет энергия гамма-кванта, измеренная детектором, который покоится в лабораторной системе отсчёта и расположен в направлении движения ядра $^{58}\mathrm {Ni}$)?