Несмотря на то, что атомное ядро – квантовый объект, некоторые закономерности, касающиеся его свойств (таких как радиус и энергия связи), можно вывести из нескольких простых положений: 

1. ядро состоит из нуклонов (протонов и нейтронов);
2. ядерные силы, связывающие нуклоны в ядре, являются короткодействующими (они действуют только между соседними нуклонами);
3. количество протонов $(Z)$ в ядре приблизительно равно количеству нейтронов $(N)$, то есть $Z\approx 
   N\approx A/2$, где $A$ -- общее количество нуклонов ($A\gg1$).

Часть A. Атомное ядро как плотно упакованная система нуклонов

Атомное ядро как плотно упакованная система нуклонов. Согласно простейшей модели, ядро можно представить как шар, плотно заполненный нуклонами, которые представляют собой шарики радиуса $r_N=0.85~фм$ $ (1~фм=10^{-15}~м)$. Ядерные силы действуют только при непосредственном контакте двух нуклонов. Объём ядра $V$ больше суммы объёмов нуклонов $AV_N$, где $V_N=\frac43\pi r^3_N$ – объём нуклона. Отношение $f=AV_N/V$ называется фактором упаковки и представляет собой относительную часть объёма, заполненную ядерным веществом.

A1  ^0.30 Определите фактор упаковки $f$, если нуклоны упакованы как в простой кубической кристаллической решётке (англ. simple cubic, SC), где каждый нуклон занимает место в вершинах куба (см. рис).

Внимание! В каждом последующем задании считайте фактор упаковки атомных ядер равным фактору упаковки, полученному в задании A1. Если вы не смогли его вычислить, в дальнейшем используйте $f=1/2$.

A2  ^1.00 Оцените среднюю плотность массы $\rho_m$ плотность заряда $\rho_q$ и радиус $R$ ядра, имеющего $A$ нуклонов. Средняя масса нуклона равна $1.67\cdot 10^{-27}~ кг$.

Часть B. Энергия связи атомных ядер – объёмные и поверхностные факторы

Энергия связи это энергия, необходимая для разделения ядра на отдельные нуклоны. Если данный нуклон находится внутри ядра, то он вносит в полную энергию связи энергию $a_V=15.8~МэВ$ $(1~МэВ=1.602\cdot10^{-13}~Дж)$. Вклад одного нуклона, находящегося на поверхности ядра, в общую энергию связи приблизительно равен $a_V/2$.

B1  ^1.90 Выразите энергию связи ядра $E_b$, содержащего $A$ нуклонов, через вели-чины $A$, $a_V$ и $f$. Сделайте поправку на то, что часть нуклонов находится на поверхности ядра.

Часть C. Влияние электростатических (кулоновских) сил на энергию связи

Электростатическая энергия однородно по объему заряженного шара радиуса $R$ (общий заряд $Q$) равна $U_C=\cfrac{3Q^2_0}{20\pi\varepsilon_0 R}$, где $\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}~Кл^2\cdotН^{-1}\cdot м^{-2}$.

C1  ^0.40 Используя эту формулу, выразите электростатическую энергию ядра. В ядре между протонами действуют кулоновские силы, причём сам на себя протон кулоновскими силами не действует. Это обстоятельство можно учесть путём замены $Z^2\to Z(Z-1)$. Используйте данную поправку в дальнейших расчётах.

C2  ^0.30 Запишите полную формулу для энергии связи, включающую основной (объёмный) фактор, а также поправки на поверхностную энергию и энергию электростатического взаимодействия протонов.

Часть D. Деление тяжёлых ядер

Деление ядер — это процесс расщепления ядра на части (на более лёгкие ядра). Предположите, что ядро с $A$ нуклонами распадается на два одинаковых осколка.

D1  ^1.30 Подсчитайте общую кинетическую энергию $E_{кин}$ в момент, когда центры этих осколков находятся на расстоянии $d≥2R(A/2)$, где $R(A/2)$ — радиус каждого осколка. Большое ядро в начальный момент времени находилось в состоянии покоя.

D2  ^1.00 Предположим, что $d=2R(A /2)$. Подсчитайте $E_{кин}$ по формуле, полученной в части а), для ядер с $A = 100,\,150,\,200,\,250$ (результат выразите в МэВ). Оцените, для каких значений $A$ возможно деление ядра в рамках данной модели?

Часть E. Реакции передачи

E1  ^2.20

В современной физике энергетические свойства ядер и ядерные реакции описываются в единицах массы Например, если ядро (имеющее нулевую скорость), находится в возбуждённом состоянии с энергией выше основного состояния на величину $E_{воз}$, его масca $m=m_0+E_{воз}/c^2$, где $m_0$ – масса покоящегося ядра в основном состоянии.
Ядерная реакция $^{16}\mathrm O+^{54}\mathrm {Fe}\to ^{12}\mathrm C+^{58}\mathrm {Ni}$ – это пример так называемой реакции передачи, в которой некоторая часть одного ядра («кластер») переходит в другое ядро. В нашем примере передаваемая другому ядру часть – это $^4 \mathrm{He}$ ($\alpha$ - частица). Реакции передачи проходят с максимальной вероятностью, если скорость продукта реакции (в нашем случае $^{12}\mathrm C$) равна по модулю и направлению скорости налетающей частицы (в нашем случае $^{16}\mathrm O$). Мишень $^{54}\mathrm{Fe}$ первоначально находится в состоянии покоя. Ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ оказывается в одном из возбуждённых состояний. Найдите энергию возбуждённого состояния (и выразите её в $МэВ$), если кинетическая энергия налетающего ядра $^{16}\mathrm O$ равна $50~МэВ$.
Ниже в таблице представлены массы покоя частиц в основном состоянии. $1~а.е.м=1.6605\cdot 10^{-27}~кг$.

E2  ^1.60 Образовавшееся ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ (из E1), находящееся в возбуждённом состоянии, переходит в основное состояние, испуская при этом гамма-квант в направлении движения Рассмотрите реакцию в системе отсчёта, в которой ядро $^{58}\mathrm {Ni}$ покоится, и найдите энергию отдачи $E_{отд}$ (то есть, кинетическую энергию $^{58}\mathrm {Ni}$ после испускания гамма кванта). Какова энергия гамма-кванта $E_{\gamma}$ в этой системе отсчёта? Какова энергия гамма-кванта $E_{дет}$ в лабораторной системе отсчёта (то есть какой будет энергия гамма-кванта, измеренная детектором, который покоится в лабораторной системе отсчёта и расположен в направлении движения ядра $^{58}\mathrm {Ni}$)?