В природном уране, в соединении $UO_2$ только $0,720 \%$ процента атомов урана являются атомами изотопа $^{235}U$. Если ядро $^{235}U$ поглощает нейтрон, то оно практически мгновенно делится, испуская при этом 2-3 нейтрона, имеющих большую кинетическую энергию. Вероятность деления будет возрастать, если нейтрон, вызывающий реакцию деления, обладает малой кинетической энергией. Таким образом, уменьшение кинетической энергии нейтронов, появившихся в результате деления, может привести к возникновению цепной ядерной реакции. Эта идея является основой работы ядерных реакторов (ЯР). Типичный ЯР представляет собой цилиндрический сосуд высоты $H$ и радиуса $R$, заполненный веществом, которое называется замедлителем. Цилиндрические трубы, называемые топливными каналами, каждый из которых состоит из набора цилиндрических топливных стержней природного $UO_2$ высотой $H$, расположены параллельно оси цилиндра в вершинах квадратной сетки. Нейтроны, возникшие в процессе деления, выходят из топливного канала, сталкиваются с замедлителем, теряют энергию и попадают в другие топливные каналы уже с низкой энергией, и приводят к делению других ядер (Рис. 1-3). Теплота, выделившаяся в результате деления в топливных стержнях, переносится охлаждающей жидкостью, текущей вдоль стержней. В данной задаче вам необходимо изучить некоторые физические явления, проходящие в $(А)$ топливных стержнях, $(В)$ замедлителе, и $(С)$ ЯР цилиндрической формы.

А. Топливный стержень

A1  ^0.80 Рассмотрим следующую реакцию деления — неподвижное ядро $^{235}U$ после поглощения нейтрона с пренебрежимо малой кинетической энергией распадается по схеме $$^{235}U + ^1n \to ^{94}Zr + ^{140}Ce + 2^1n + \Delta E$$ Оцените полную энергию $\Delta E~(в~МэВ)$, выделяющуюся в реакции. Массы частиц равны: $m(^{235}U) = 235.044~а.е.м.$; $m(^{94}Zr) = 93.9063~а.е.м.$; $m(^{140}Ce) = 139.905~МэВ$; $m(^1n) = 1.00867~а.е.м.$, где $1~а.е.м. = 931.502~МэВ$. Не обращайте внимания на неcохранение электрического заряда в этом уравнении.

A2  ^0.50 Оцените $N$ — число атомов $^{235}U$ в единице объема природного $UO_2$.

A3  ^1.20 Предположим, что поток нейтронов в ядерном топливе является однородным и равным $\varphi = 2.000 \times 10^{18}~м^{-2}с^{-1}$. Сечение реакции деления (эффективная площадь ядра-мишени) ядра $^{235}U$ равно $\sigma_f = 5.400 \times 10^{-26}~м^2$. Считая, что 80.00\% энергии выделяющейся при делении превращается в тепловую, найдите тепловую мощность, выделяющуюся в единице объема ядерного топлива — $Q~(в~Вт~м^{-3})$. $1~ Мэв = 1.602 \times 10^{-13}Дж.$

A4  ^0.50 Установившаяся разность температур между центром $(T_c)$ и поверхностью $(T_s)$ топливного стержня может описана формулой $T_c - T_s = kF(Q,a,\lambda)$, где $k = 1/4$ — безразмерная постоянная, $a$ — радиус стержня, $\lambda$ — теплопроводность $UO_2$. Используя метод размерностей, получите выражение для функции $F(Q,a,\lambda)$.

A5  ^1.00 Максимально допустимая температура охладителя равна $5.770 \times 10^2~К$. Рассчитайте максимально возможный радиус $a_u$ топливного стержня.

B. Замедлитель

Рассмотрим абсолютно упругое столкновение на плоскости двух частиц: нейтрона массой $1~а.е.м.$ с частицей замедлителя массы $A~а.е.м.$. Считайте, что в лабораторной системе отсчета (ЛСО) все частицы замедлителя перед столкновениями находятся в состоянии покоя. Пусть $\vec{v}_m$ и $\vec{v}_a$ — скорости нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно. Обозначим $\vec{v}_m$ скорость центра масс системы в ЛСО, а $\theta$ угол отклонения нейтрона в системе отсчета, связанной с центром масс (СОЦМ). Все сталкивающиеся частицы — нерелятивистские.

B1  ^1.00 На Рис. 4 показан схематически процесс столкновения в ЛСО, где $\theta_L$ угол отклонения нейтрона. Нарисуйте схематически процесс столкновения в СОЦМ. На этом рисунке укажите угол рассеяния $\theta$, а также скорости частиц для положений 1, 2 и 3 в СОЦМ, которые должны быть выражены через $\vec{v}_b, \vec{v}_a~и~\vec{v}_m$.

B2  ^1.00 В СОЦМ определите скорости нейтрона $v$ и частицы замедлителя $V$ после столкновения, выразив их через $A$ и $v_b$.

B3  ^1.00 Получите выражение для зависимости $G(a, \theta) = E_a/E_b$, где $E_b$ и $E_a$ — кинетические энергии нейтрона в ЛСО до и после столкновения соответственно, а $a\equiv [(A - 1)/(A+1)]^2$.

B4  ^0.50 Предположим, что вышеуказанное выражение справедливо для молекулы $D_2O$. Вычислите максимально возможную долю потери энергии $f_l \equiv \frac {E_b-E_a}{E_b} $ нейтрона в замедлителе $D_2O~(20~а.е.м.)$.

C. Ядерный реактор

Для работы ядерного реактора при любом постоянном потоке нейтронов $\psi$ (в стабильном режиме), количество нейтронов покидающих реактор должно быть скомпенсировано числом нейтронов вырабатываемых в ядерном процессе. Для реактора цилиндрической формы, количество покидающих нейтронов в единицу времени равно $k_1[(2.405/R)^2 + (\pi /H)^2]\psi$, в то время как количество нейтронов, образуемых в ядерных реакциях в единицу времени, равно $k_2\psi$. Константы $k_1$ и $k_2$ зависят от свойств материалов, из которого сделан ядерный реактор.

C1  ^1.50 Рассмотрите ядерный реактор, для которого $k_1=1.021\times10^{-2}~м$ и $k_2=8.787 \times 10^{-3}~м^{-1}$. Заметим, что для эффективного использования топлива, количество улетающих нейтронов при работе в стационарном режиме должно быть минимально. Рассчитайте размеры ядерного реактора (высоту и радиус), при фиксированном его объеме, удовлетворяющие указанному условию.

C2  ^1.00 Топливные каналы расположены в узлах квадратной сетки, как показано на Рис. 3. Расстояния между ближайшими каналами равно $0.286~м$, а радиус топливного канала $3.617 \times 10^{-2}~м$. Оцените количество топливных каналов $F_n$ в ядерном реакторе и массу $M$ природного урана $UO_2$, необходимого для работы ядерного реактора в стационарном режиме.