Планетарная газовая туманность – это облако газа, удерживаемое силами тяготения ее «ядра» (обычно это достаточно массивная звезда). Если это облако достаточно велико, то мы не видим саму звезду – испускаемый ею свет многократно рассеивается на частицах газа, поглощается ими и затем переизлучается. Поэтому в телескопы мы видим свечение всей туманности. В данной задаче нужно изучить связь между излучением туманности, которое видит внешний наблюдатель, и исходным излучением звезды-ядра. На самом деле в состав подобных туманностей входят различные газы, но больше всего в них содержится водорода. Поэтому мы рассмотрим туманность, состоящую только из атомарного водорода со средней плотностью $\overline{\rho}=10^{-20}~г/см^{3}$, внешний радиус которой равен $R=10^{17}~см$, а внутренний (равный, естественно, радиусу звезды-ядра) $r_{0}=10^{10}~см$. Приведем также значения физических постоянных, которые могут понадобиться Вам при решении данной задачи:
• скорость света в вакууме $c \approx 3\cdot 10^{8}~м/с$;
• элементарный заряд $e \approx 1.6\cdot 10^{-19}~Кл$;
• масса электрона $m_{e}\approx 9\cdot 10^{-31}~кг$;
• постоянная Планка $h \approx 6.6\cdot 10^{-34}~Дж\cdot с$;
• электрическая постоянная $\varepsilon_{0}\approx 8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м$;
• число Авогадро $N_{A} \approx 6\cdot 10^{23}~моль^{–1}$;
• постоянная Больцмана $k \approx 1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$.
Для вычислений Вам могут оказаться полезными следующие интегралы:
$$
\int\limits_0^\infty \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx=\frac{\pi^{4}}{15}.
$$При $b>4$ можно использовать приближенные формулы:
$\int\limits_b^\infty \frac{x^{3}}{e^{x}-1}dx \approx (b+1)^{3}\cdot e^{-b}$ с относительной ошибкой порядка $\frac{3}{(b+1)^{2}}$;
$\int\limits_b^\infty \frac{x^{2}}{e^{x}-1}dx \approx (b+1)^{2}\cdot e^{-b}$ с относительной ошибкой порядка $\frac{1}{(b+1)^{2}}$.
Несмотря на яркое свечение, звёзды с хорошей точностью можно считать «абсолютно черными телами» – так в физике называют объекты, поглощающие практически всё падающее на них электромагнитное излучение. Нагретые «абсолютно черные тела» сами испускают электромагнитное излучение, спектр которого впервые удалось описать М. Планку, который применил постулат о $\textit{квантовании энергии}$ излучения. Согласно этому постулату, при взаимодействии с атомами и молекулами вещества электромагнитное излучение ведет себя как поток $\textit{фотонов}$, энергия каждого из которых связана с частотой волны $\nu$ следующим образом: $E_{\gamma}=h\cdot \nu$. Планк показал, что если излучение, частота которого лежит в узком интервале $(\nu, \nu+d\nu)$, находится в равновесии с «абсолютно черным телом» при постоянной температуре $T$, то объемная плотность энергии этого излучения равна $dW=w(\nu)d\nu$. В последней формуле фигурирует $\textit{спектральная плотность}$ энергии излучения $w(\nu)=\frac{8\pi h}{c^{3}}\frac{\nu^{3}}{e^{h\nu/kT}-1}$ – это так называемое распределение Планка. Полная мощность излучения с единицы площади поверхности такого тела (энергия $\Delta E_{rad}$, излучаемая единицей площади за единицу времени) называется полным потоком энергии и может быть найдена из закона Стефана-Больцмана: $J=\frac{\Delta E_{rad}}{\Delta S\Delta t}=\sigma \cdot T^{4}$. Здесь $\sigma \approx 5.67\cdot 10^{-8}~Вт/(м^{2}\cdot К^{4})$ – постоянная Стефана-Больцмана.
2 2.00 Предположим, что все газовое облако находится в тепловом равновесии с фотонным газом, испускаемым звездой. Найдите для этого случая зависимость температуры газа от расстояния $r$ до центра звезды при $r\gg r_{0}$. В качестве ответа запишите формулу для отношения $\frac{T(r)}{T_{0}}$, где $T_{0}$ – температура поверхности звезды-ядра.
Взаимодействие атома водорода с фотонами описывается на базе постулатов Бора. Среди состояний электрона вблизи ядра существуют $\textit{стационарные}$ состояния, в которых электрон не обменивается энергией с полем излучения. Поглощение или испускание фотонов происходит при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое. По теории Бора, энергии стационарных «связанных» состояний (энергетические уровни электрона в атоме водорода) можно найти с помощью анализа «волновых свойств» электрона: на классической траектории электрона, отвечающей одному из стационарных состояний, должно укладываться целое число длин волн де Бройля $\lambda_{e}=\frac{h}{p_{e}}$, где $p_{e}$ – импульс электрона. При этом другие значения энергии для электрона полностью запрещены – электрон с «запрещенной» энергией при взаимодействии с ядром перейдет в одно из стационарных состояний, обменявшись энергией с другими объектами – например, испустив фотон.
3 2.00 Рассмотрите круговые орбиты электрона в атоме водорода, на которых укладываются $n=1, 2, ...$ длин волн де Бройля, и вычислите энергию $n$–ого уровня (в ответе приведите формулу; при ее получении считайте, что потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром равна нулю при бесконечном удалении их друг от друга).
4 1.00 Какой минимальной энергией должен обладать фотон, который может ионизировать атом водорода, находящийся в состоянии с минимальной энергией? Эту величину называют энергией (порогом) ионизации атома водорода. Ответ запишите в электронвольтах (эВ). $1~эВ$ – единица измерения энергии, численно равная работе электростатических сил при перемещении электрона между точками с разностью потенциалов $1~В$.
Мы знаем, что теория Бора лишь приближенно описывает квантовые системы. Однако для уровней энергии атома водорода она по удачному стечению обстоятельств дает ответ, совпадающий с точным ответом, полученным с помощью современной квантовой теории. Этот ответ хорошо согласуется с экспериментальными данными. Состояние с минимальной энергией ($n=1$) называют основным, а состояния с $n>1$ – возбужденными. Время жизни атома в возбужденном состояния (то есть время нахождения электрона в стационарном состоянии с $n>1$) не превышает $10^{–8}~с$. Затем электрон переходит в одно из нижележащих стационарных состояний, испуская фотон. Наибольшую вероятность имеет переход на соседний энергетический уровень ($|\Delta n|=1$), переходы с $|\Delta n|>1$ менее вероятны.
5 2.00 Допустим, что водород находится в равновесии с излучением звезды, температура поверхности которой примерно равна $T_{0} = 30 000~К$. Укажите номер энергетического уровня, на котором должны преимущественно находиться атомы водорода, если они расположены на расстоянии $r \gg r_{0}$ от звезды? Оцените (в процентах, с точностью до целого значения) долю атомов, находящихся в возбужденных состояниях при $r=10^{5}r_{0}$.
На самом деле даже в стационарной туманности водород не будет находиться в равновесии с излучением звезды – он будет «перерабатывать» это излучение. Основным механизмом «переработки» будет поглощение фотонов с энергией выше порога ионизации. В результате в туманности будет существовать некоторая примесь свободных электронов и протонов (ионов $H^{+}$). При столкновениях протонов и электронов будут вновь образовываться нейтральные атомы водорода, но уже в возбужденных состояниях. Количество столкновений электронов и ионов в единицу времени пропорционально произведению их концентраций. В результате таких столкновений обычно образуются атомы водорода в разных возбужденных состояниях с достаточно большими $n$ («захваты» электронов в состояния с $n=1, 2$ происходят очень редко). Электроны из этих возбужденных состояний будут за несколько «шагов» переходить в основное состояние, излучая фотоны из спектра атома водорода. Ясно, что эти частоты будут меньше частоты фотона, поглощенного атомом при ионизации. Аналогично атом водорода может поглощать фотоны, переходя в возбужденное состояние (для этого энергия фотона должна быть с высокой точностью равна разности энергий соответствующих уровней), из которого он также постепенно возвращается в основное состояние.
Итак, туманность будет поглощать высокоэнергетичные фотоны, «превращая» каждый из них в несколько фотонов с более низкими энергиями. Нужно отметить, что разброс частот фотонов, излучаемых при одном и том же переходе, очень мал – для условий планетарной газовой туманности он составляет менее сотой доли процента от частоты перехода $\nu_{n \rightarrow n^{'}}=\frac{E_{n}-E_{n^{'}}}{h}$. Для дальнейшего отметим, что фотоны, испускаемые в переходах с уровней с $n>1$ на уровень с $n^{'}=1$, называют «лаймановскими» (соответствующие спектральные линии составляют так называемую $\textit{серию Лаймана}$), а испускаемые при переходах с уровней с $n>2$ на уровень с $n^{'}=2$ – «бальмеровскими» (линии принадлежат $\textit{серии Бальмера}$). Фотоны, энергии которых ниже порога ионизации и не равны разности энергий двух стационарных состояний, в основном испытывают почти упругое рассеяние на атомах водорода – их частота почти не изменяется.
7 1.00 Вероятность ионизации атома водорода в основном состоянии фотоном с энергией выше порога ионизации характеризуют величиной $\textit{сечения фотоионизации}$. Эта величина имеет размерность площади и равна отношению количества фотонов, поглощаемых одним атомом за единицу времени, к плотности потока налетающих фотонов (то есть к числу налетающих фотонов, проходящих через единицу площади волнового фронта за единицу времени). Пусть эта величина для фотонов с энергиями вблизи порога ионизации равна $\sigma_{i} \approx 10^{-17}~см^{2}$. Оцените длину свободного пробега фотона с энергией выше порога ионизации (расстояние, которое он в среднем пролетит в веществе туманности до поглощения) в области, где плотность водорода равна средней плотности $\overline{\rho}$. Ответ запишите в сантиметрах.
9 6.00 Пусть $\Delta N$ – количество испускаемых звездой за время $\Delta t$ фотонов с энергией выше порога ионизации водорода из основного состояния, $\Delta N_{21}$ – количество выходящих за то же время $\Delta t$ из туманности фотонов с частотами спектральной линии, соответствующей переходу $(n=2) \rightarrow (n^{'}=1)$ (это «основная» линия серии Лаймана), а $\Delta N_{B}$ – общее количество «бальмеровских» фотонов, выходящих из туманности за то же время $\Delta t$. Найдите примерно соотношение $\Delta N_{21}:\Delta N_{B}:\Delta N$.
10 5.00 Внешний наблюдатель исследует спектр излучения нашей туманности. Изобразите на рисунке (качественно) график регистрируемого им спектра (то есть нарисуйте ход зависимости $\frac{dI}{d\nu} \equiv s(\nu)$, где $dI$ – интенсивность регистрируемого излучения, приходящегося на интервал частот $d\nu$). Укажите на графике его основные особенности.
11 10.00 Наблюдатель установил, что интенсивность излучения туманности на частоте основной спектральной линии серии Лаймана $\nu_{21}$ составляет $10\%$ от интенсивности излучения туманности в диапазоне частот $\frac{2}{3}\nu_{21} \leq \nu \leq \nu_{21}$ (если в последней суммарной интенсивности не учитывать излучение на частоте самой спектральной линии). Чему равна температура $T_{x}$ поверхности звезды-ядра в наблюдаемой туманности? В качестве первого ответа приведите полученное Вами уравнение для определения $T_{x}$ (это должно быть алгебраическое уравнение, не содержащее других неизвестных величин, кроме $T_{x}$). В качестве второго ответа на данный вопрос приведите полученное в результате численного решения этого уравнения значение $T_{x}$ в кельвинах, с ошибкой не более $500~К$.
Теперь нам ясно, что часть водорода в туманности будет находиться в ионизированном состоянии. Интересно выяснить, как зависит степень ионизации газа (отношение количества ионизированных атомов к полному количеству атомов) от расстояния до поверхности звезды. Для упрощения анализа Вам предлагается использовать модель, согласно которой в области с заметной ионизацией выполняются два предположения:
• убывание потока фотонов с энергиями выше порога ионизации водорода происходит в основном за счет их поглощения нейтральными атомами (а не за счет увеличения площади, по которой они распределяются);
• плотность водорода изменяется (при изменении указанного расстояния) значительно медленнее, чем степень ионизации, так что плотность можно считать примерно равной средней плотности туманности.
Также используйте информацию из введения к части $III$.
12 10.00 Предположим, что степень ионизации водорода вблизи поверхности звезды очень высока и равна $99\%$. На каком расстоянии $l_{1}\equiv r_{1}-r_{0}$ от поверхности звезды степень ионизации станет равна $90\%$ (первый ответ – $l_{1}$), $50\%$ (второй ответ – $l_{2}$), $10\%$ (третий ответ – $l_{3}$)? Все три ответа запишите в см.