В этой задаче мы исследуем деформируемую структуру в поле тяжести. Структуру можно считать физическим маятником, у которого только одна степень свободы (т.е. существует только один способ деформировать его, и его положение полностью определяется углом $\alpha$). Джеймс Максвелл исследовал подобные структуры в XIX веке, а недавно было открыто их необычное поведение.

На рисунке 1 показаны $N^2$ одинаковых равносторонних треугольных пластинок (красные треугольники), которые шарнирно соединены друг с другом одинаковыми стержнями. Таким образом, система представляет собой решетку размером $N \times N$ ($N > 1$). Шарниры в вершинах треугольников обозначены маленькими кружками. Длина стороны треугольника равна длине стержня и равна $l$.

Пунктирными линиями обозначены четыре трубки. Вдоль каждой из трубок могут скользить $N$ вершин (серые кружки), т.е. трубку можно рассматривать, как направляющий стержень. Четыре трубки шарнирно соединены в ромб так, что его углы зафиксированы: два из них $60^{\circ}$, а два других — $120^{\circ}$ (см. Рис. 1).

Все пластинки однородны, и масса каждой из них равна $M$. Остальные части системы невесомы. Положение системы однозначно определяется углом $\alpha$, где $0 ^{\circ} \leq \alpha \leq 60 ^{\circ}$. На рисунке 1 приведены примеры положений для различных углов $\alpha$.
Система расположена вертикально (как занавес), а верхняя трубка может двигаться только в горизонтальном направлении.

Система координат приведена на рисунке 2. Нулевой уровень потенциальной энергии выбран при $y = 0$. Треугольная пластинка обозначается парой индексов ($m$, $n$), где $m$, $n$ = 0, 1, 2, ... , $N$ - 1, что задает их нумерацию в направлениях $x$ и $y$ соответственно. $A$($m$, $n$), $B$($m$, $n$) и $C$($m$, $n$) обозначают положения трех вершин треугольника ($m$, $n$). Верхняя левая вершина $A$(0, 0) неподвижна.
Движение системы происходит только в плоскости $x y$ . Момент инерции однородной равносторонней треугольной пластинки относительно ее центра масс равен $I = M l^2 / 12$. Ускорение свободного падения — $g$.
Для кинетической и потенциальной энергии используйте обозначения $E_k$ и $E_p$ соответственно.

Часть A (4 балла)

Рассмотрите случай $N = 2$ (см. Рис. 3).

A1  ^1.00 Чему равна потенциальная энергия системы $E_p$ для произвольного угла $\alpha$ при $N = 2$?

A2  ^0.50 Чему равен угол $\alpha$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при $N = 2$)?

A3  ^2.50 Система может совершать малые гармонические колебания вблизи положения равновесия. Рассчитайте кинетическую энергию этой системы. Рассчитайте частоту малых колебаний $f_E$ при $N = 2$.

Часть B (3 балла)

Рассмотрите систему при произвольном $N$.

B1  ^1.50 Чему равен угол $\alpha'_E$, при котором система находится в равновесии в поле тяжести (при произвольном $N$)?

B2  ^1.50 Рассмотрите случай $N \to \infty$. При небольшом изменении угла $\alpha$ изменение потенциальной энергии системы может быть представлено как $\Delta E_p \propto N^{\gamma_1}$, кинетическая энергия системы — $E_k \propto N^{\gamma_2}$ и частота малых колебаний — $f'_E \propto N^{\gamma_3}$. Найдите значения $\gamma_1$, $\gamma_2$ и $\gamma_3$.

Часть C (3 балла)

Систему удерживают в положении с $\alpha_m = 60^{\circ}$. Для этого на одну из $3 N^2$ вершин действуют некоторой силой.

C1  ^0.50 Какую вершину нужно выбрать, чтобы эта сила была минимальной?

C2  ^2.50 Чему равен модуль этой минимальной силы, и каково ее направление? Укажите это направление с помощью угла $\theta_F$, который определен так, как показано на рисунке 4.