Рассмотрим простейший процесс рассеяния: частица 1 (налетающая частица) с кинетической энергией $K_1$ летит из бесконечности и упруго сталкивается с покоящейся частицей 2 (частицей-мишенью), в результате чего кинетическая энергия и направление движения первой частицы меняются.

Пусть кинетическая энергия частицы 1 после рассеяния равна $K'_1$. Введём кинематический фактор $k\equiv\frac{K'_1}{K_1}$.

1 В каком диапазоне могут лежать значения $k$?

Обозначим как $\theta$ угол между направлениями движения частицы до и после рассеяния. Введём также величину $R$ — отношение массы второй частицы к массе первой. Зафиксируем некоторое значение $R$ и посмотрим на поведение $k$ как функции $\theta$.

2 Получите $k(\theta)$ и укажите диапазон возможных значений $\theta$ для произвольного фиксированного $R$. Рассмотрите отдельно случаи $R > 1$, $R=1$ и $R < 1$.

3 В этой модели выразите $k$ через $R$, $A$ и $b$. Выберите ветви этой функции, рассмотрев частные случаи лобового $(b=0)$ и касательного $(b=A)$ столкновений. Найдите, какой диапазон значений $b$ соответствует каждой из полученных ветвей.

Пусть теперь массы покоя обеих частиц равны $m_0$, размеры частиц несущественны, а скорость налетающей частицы настолько велика, что возникает необходимость учёта релятивистских эффектов. Скорость света в вакууме равна $c$.

4 Найдите выражение для кинематического коэффициента $k(\theta)$. Сравните его с классическим результатом.

5 Как связаны между собой $K'_1$ и угол $\alpha$ между направлениями движения частиц после столкновения? При каком $K'_1$ функция $\alpha(K'_1)$ имеет экстремум? Какой это экстремум (минимум или максимум) и чему равно экстремальное значение $\alpha$? Чему при этом равен $\theta$?