Существуют кристаллы, в которых распространение света происходит анизотропно. В самом простом их типе — одноосных кристаллах — свет при этом разделяется на две волны: обыкновенную (индекс $o$; изотропна) и необыкновенную (индекс $e$; анизотропна). Также в одноосных кристаллах существует выделенное направление – оптическая ось кристалла — при распространении вдоль которого обыкновенная и необыкновенная волны движутся с одинаковой скоростью $v_o=\frac c{n_o}$, где $n_o$ — показатель преломления обыкновенной волны. При этом перпендикулярно оптической оси необыкновенная волна будет двигаться уже со скоростью $v_e=\frac c{n_e}$. Если направление распространения необыкновенной волны произвольно, её показатель преломления оказывается непрерывно функцией угла, под которым она движется относительно оптической оси.

Из принципа Гюйгенса следует, что фронт необыкновенной волны, испущенной точечным источником, представляет собой эллипсоид вращения, ось симметрии которого параллельна оптической оси кристалла. Введём систему координат, как показано на рисунке, направив ось $y$ вдоль оптической оси. Рассмотрим распространение обыкновенной и необыкновенной волн в плоскости $xy$.

1 Руководствуясь принципом Гюйгенса, опишите схему, позволяющую определить направление распространения волны в одноосном кристалле.

A

Пусть на поверхность кристалла из воздуха нормально падает плоская волна с длиной волны $\lambda$. Угол между нормалью к поверхности кристалла и его оптической осью равен $\theta$.

2 Нарисуйте волновые фронты обыкновенной и необыкновенной волн, распространяющихся в кристалле. Отобразите на рисунке их волновые вектора $\vec k_o$, $\vec k_e$ (перпендикулярны фронтам) и направления распространения волн $\vec N_o$, $\vec N_e$ соответственно. Для определённости считайте, что $n_o > n_e$.

A

3 Выразите угол $\xi$ между направлением распространения $\vec N_e$ необыкновенной волны и оптической осью кристалла через $n_o$, $n_e$ и $\theta$.

A S

Дисперсия показателя преломления в одноосном кристалле BBO ($\beta$-борат бария) имеет вид:\[\left\{\begin{array}{l}
n_o^2(\lambda)=2.7359+\dfrac{0.01878}{\lambda^2-0.01822}-0.01354 \lambda^2 \\
n_e^2(\lambda)=2.3753+\dfrac{0.01224}{\lambda^2-0.01667}-0.01516 \lambda^2
\end{array}\right.\](Здесь длина волны $\lambda$ в вакууме измеряется в $мкм$.)

4 Найдите $n_o$ и $n_e$ в кристалле BBO при длинах волны в вакууме $800.0~нм$ и $400.0~нм$.

A

Одной из ключевых функций анизотропных кристаллов является удвоение частоты — превращение двух фотонов с исходной частотой в один фотон с удвоенной. Такой процесс должен удовлетворять законам сохранения энергии и импульса. Импульс фотона $\vec p$ и его волновой вектор $\vec k$ связаны соотношением $\vec p=\hbar\vec k$, где $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка.

5 Как связаны между собой волновые векторы фотона до $(\vec k_1)$ и после $(\vec k_2)$ удвоения частоты?

A S

6 Предложите способ удовлетворить законам сохранения при удвоении частоты в кристалле BBO. Длина волны используемого света в вакууме равна $800~нм$.

A S

7 При каком угле $\theta$ можно будет удвоить частоту этого света при пропускании через кристалл BBO?

A S

8 Чему при этом будет равен угол $\alpha$ между волновым вектором $\vec k_e$ необыкновенной волны и направлением её распространения $\vec N_e$?

A S