Описание явления. 

Мы рассматриваем известный эксперимент с нейтронным интерферометром в идеализированном упрощенном варианте, в рамках которого обсуждается идеальные делители пучков нейтронов и нейтронные зеркала, расположенные внутри интерферометра. В этом эксперименте изучается влияние гравитации на волны де Бройля нейтронов.

Схема нейтронного интерферометра, который аналогичен оптическому интерферометру, показана на рисунке $1a$. Нейтроны попадают в интерферометр через вход «$IN$», следуют по двум возможным путям и регистрируются в одном из двух выводных каналов «$OUT_{1}$» или «$OUT_{2}$». Два плеча интерферометра ограничиваю область в форме ромба, площадь которого составляет несколько квадратных сантиметров. 

Нейтронные волны де Бройля (с длиной волны порядка $10^{-10}~м$) интерферируют так, что при горизонтальном положении интерферометра все нейтроны попадают в выходной канал «$OUT_{1}$». Интерферометр может поворачиваться на произвольный угол $\varphi$ вокруг горизонтальной оси, совпадающей с направлением входного пучка (рис. $1б$). При повороте интерферометра наблюдается перераспределение нейтронов между выходными каналами «$OUT_{1}$» и «$OUT_{2}$», которое периодически зависит от угла поворота $\varphi$.

Геометрия опыта. 

При $\varphi=0$ плоскость интерферометра расположена горизонтально; при $\varphi=90^{\circ}$ эта плоскость вертикальна и выходы расположены над осью поворота.

1.1  ^1.00 Чему равна площадь ромба $A$, ограниченного плечами интерферометра?

1.2  ^1.00 Чему равна высота $H$ выходного канала «$OUT_{1}$» над горизонтальной плоскостью, содержащей ось вращения?

Выразите $A$ и $H$ через величины $a$, $\theta$ и $\varphi$.

Относительная оптическая длина дуги. 

Относительная оптическая $N_{опт}$ (число) определяется как отношение геометрической длины пути (расстояния) к длине волны $\lambda$. Если $\lambda$ изменяется вдоль по пути, то $N_{опт}$ получается интегрированием величины $\lambda^{-1}$ по пути.

1.3  ^3.00 Найдите разность $\Delta N_{опт}$ относительных оптических длин путей плеч интерферометра при его повороте на угол $\varphi$. Выразите ответ через величины $a$, $\theta$ и $\varphi$, массу нейтрона $M$, де-бройлевскую длину волны нейтронов $\lambda_0$, ускорение свободного падения $g$ и постоянную Планка $h$.

1.4  ^1.00 Введите объемный параметр $$V= \frac{h^2}{gM^2}.$$
И выразите $\Delta N_{опт}$ через величины $A$, $V$ $\lambda_0$, $\varphi$. Приведите численное значение параметра $V$ при $M= 1.675 \cdot 10^{-27}~кг$, $g= 9.800~м\cdot с^{-2}$ и $h = 6.626 \cdot 10^{-34}~Дж \cdot с$.

1.5  ^2.00 Сколько периодов изменения интенсивности потока нейтронов в выходном канале «$OUT_{1}$» — от максимальной до минимальной и обратно к максимальной — произойдет при изменении угла поворота $\varphi$ от $-90^{\circ}$ до $90^{\circ}$?

Экспериментальные данные. 

В эксперименте использовался интерферометр со следующими параметрами: $a= 3.600~см$ и $\theta= 22.10^{\circ}$, при этом наблюдалась $19.00$ полных периодов изменения интенсивности при изменении угла поворота в указанных выше пределах.

1.6  ^1.00 Чему равнялась величина $\lambda_{0}$ в этом эксперименте?

1.7  ^1.00 В другом аналогичном эксперименте с использованием нейтронов с де-бройлевской длиной волны $\lambda_{0} = 0.2000~нм$ наблюдалась $30.00$ полных периодов. Чему равнялась площадь ромба $A$ в этом случае?

Подсказка: если $|ax| \ll 1$, то $(1+x)^a$ можно заменить на $1 + ax$.