Две звезды, вращающиеся вокруг их общего центра масс, образуют бинарную (двойную) звездную систему. Почти половина звезд нашей галактики — двойные звезды. С Земли нелегко распознать двойную природу большинства этих звездных систем, так как расстояние между звездами намного меньше расстояния от них до Земли, и, следовательно, телескоп не способен разрешить отдельные компоненты двойной звезды. Поэтому приходится использовать либо фотометрию, либо спектрометрию для наблюдения изменений в интенсивности или в спектре конкретной звезды, для того чтобы определись, является ли данная звезда двойной.

Фотометрия двойной звезды 

Если бы мы находились в плоскости движения двух звезд, тогда одна из звезд в определенные моменты времени заслоняла бы другую (проходя впереди нее) и интенсивность всей системы изменялась бы со временем при наблюдении из нашей точки. Такие звезды называются эклиптическими двойными звездами.

1 Допустим, что две звезды движутся по круговым орбитам вокруг их общего центра масс с постоянной угловой скоростью $\omega$, и мы находимся точно в плоскости движения звезд. Предположим также, что температуры поверхностей звезд равны $T_{1}$ и $T_{2}$ $(T_{1} > T_{2})$, а их радиусы составляют $R_{1}$ и $R_{2}$ соответственно $(R_{1} > R_{2})$. Зависимость от времени суммарной относительной интенсивности света, измеренной на Земле, показана на рисунке ниже. Тщательные измерения свидетельствуют о том, что минимальные интенсивности падающего от звезд света соответствуют $90\%$ и $63\%$ суммарной интенсивности $I_{0}$, полученной от обеих звезд $(I_{0} = 4.8 \cdot 10^{-9}~Вт/м^{2})$.

Рисунок 1. Относительная интенсивность, полученная от двойной звезды, в зависимости от времени. Интенсивность посчитана по отношению к $I_{0} = 4.8 \cdot 10^{-9}~Вт/м^{2}$. Время выражено в днях.

1.1 Найдите период орбитального движения звезд. Ответ выразите в секундах и округлите до двух значащих цифр. Найдите также угловую скорость вращения системы в рад/с.

Достаточно хорошим приближением для изучения, принимаемого от звезды, может служить излучение абсолютно черного тела в виде диска, радиус которого равен радиусу звезды. Поэтому мощность, принятая от звезды, пропорциональная $AT^{4}$, где $A$ — площадь диска, $T$ — поверхностная температура звезды.

1.2 С помощью графика, приведенного на рисунке 1, найдите отношения $T_{1}/T_{2}$ и $R_{1}/R_{2}$.

Спектрометрия двойной звезды 

В этой части вам предлагается вычислить астрономические свойства двойной звезды, используя ее экспериментальные спектрометрические данные. 

Атомы поглощают и излучают свет определенных длин волн, характерных для данного атома. Поэтому наблюдаемый спектр звезды содержит линии поглощения, возникающие благодаря атомам, содержащимся в атмосфере звезды. 

В спектре натрия имеется характерная желтая линия $(D1)$ с длиной волны $5895.9 \mathring A$ $(10\mathring A =1~нм)$. Рассмотрим спектр поглощения атомарного натрия на этой длине волны для двойной звезды, о которой шла речь в предыдущей части. Из-за движения обеих звезд данной бинарной системы относительно наблюдателя частота (или длина волны) принимаемого нами излучения приобретает доплеровский сдвиг. Каждая из этих звезд имеет свою скорость и, соответственно, свой доплеровский сдвиг.

Требуются высоко точные измерения длины волны для наблюдения доплеровского сдвига, поскольку скорости звезд гораздо меньше, чем скорость света. Скорость центра масс бинарной системы, рассматриваемой в данном вопросе, гораздо меньше орбитальных скоростей звезд, поэтому все доплеровские сдвиги относятся к орбитальным скоростям звезд. 

В таблице приведена зависимость от времени длин волн линий в спектре поглощения звезд двойной системы для линии $D_{1}$ натрия:

Используя $\text{таблицу 1}$, ответьте на следующие вопросы:

1 Используя таблицу 1, ответьте на следующие вопросы:

2.1 Найдите орбитальную скорость каждой из звезд $v_{1}$ и $v_{2}$ (скорость света $c=3 \cdot 10^{8}~м/с$). Релятивистские эффекты не учитывайте.

2.2 Найдите отношение масс звезд $m_{1}/m_{2}$.

2.3 Найдите расстояния $r_{1}$ и $r_{2}$ каждой из звезд бинарной системы от их общего центра масс.

2.4 Найдите расстояние $r$ между звездами.

Учитывая, что гравитационная сила является единственной силой, действующей между звездами, дайте ответ на такой вопрос.

3.1 Найдите массу каждой звезды с точностью до одной значащей цифры. Гравитационная постоянная $G= 6.67\cdot 10^{-11}~м^{3} кг ^{-1} с^{-2}$.

Общая характеристика звёзд 

Для большинства звезд механизм генерации излучаемой энергии одинаков. Поэтому существуют эмпирическое соотношение между массой звезды $M$ и ее светимостью $L$, которая равна общей мощности излучения звезды. Это соотношение можно записать в виде $L/L_{C}=(M/M_{C})^{\alpha}$, где $M_{C}= 2 \cdot 10^{30}~кг$ — масса Солнца, $L_{C}= 3.9 \cdot 10^{26}~Вт$ — вместимость Солнца. Эта закономерность проиллюстрирована на рисунке $2$ в двойном логарифмическом масштабе (звёздочкой отмечено Солнце).

4.1 Найдите показатель степени $\alpha$ c точностью до одной значащей цифры.

4.2 Пусть $L_{1}$ и $L_{2}$ — светимости звезд двойной системы, изучавшейся в предыдущей части. Найдите $L_{1}$ и $L_{2}$.

4.3 Определите расстояние $d$ от нас до звездной системы в световых годах. Для определения этого расстояния вы можете использовать диаграмму, приведенную на рисунке $1$.

4.4 Каково максимальное угловое расстояние $\theta$ между звездами при наблюдении с Земли?

4.5 Каким наименьшим диаметром $D$ должен обладать объектив оптического телескопа, для того чтобы разрешить эти две звезды?