Задача о движении частицы под действием как радиальной, так и тангенциальной сил, как правило, оказывается довольно сложной и требует знания продвинутого математического аппарата. Однако некоторые системы, такие как точечный заряд и диполь, обладающие очень спецефичным электростатическим полем, дают интересные результаты, даже когда момент импульса не сохраняется.

Считайте, что релятивистскими эффектами и излучением можно пренебречь, если не сказано обратное.
Электрическая постоянная равна $\varepsilon_0$.

Часть A. Движение диполя (2.4 балла)

Рассмотрим плоскую задачу. Положения заряда $Q>0$ и центра диполя фиксированы и находятся на расстоянии $L$ друг от друга (см. рис. 1). Диполь состоит из двух частиц массой $m$, соединенных небольшим твердым стержнем длиной $d$, $d \ll L$. Заряды частиц равны $q>0$ и $-q$. Диполь может свободно вращаться вокруг центра.

A1 Найдите период малых колебаний диполя. Ответ выразите через $m$, $Q$, $q$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$.

Теперь диполь насажен на невесомый стержень, который может свободно вращаться вокруг заряда $Q$. Диполь может свободно скользить вдоль стержня.

Изначально диполь покоился на расстоянии $L$ от заряда, и в некоторый момент ему сообщили скорость $v_0$, направленную перпендикулярно стержню.

A2 Найдите радиальную и азимутальную компоненты скорости $v_{r}$ и $v_\theta$ соответственно. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $v_0$, $L$, $\varepsilon_0$ и расстояние между зарядом и диполем $r$.

Чтобы диполь приближался к заряду, его начальная скорость не должна превосходить некоторого критического значения $v_{\text{cr}}$.

A3 Найдите критическую скорость $v_{\text{cr}}$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$.

A4 Диполь запускают с критической скоростью $v_{\text{cr}}$. Изобразите траекторию, описываемую центром диполя за большое время, учитывая потери энергии на излучение.

Диполь запускают со скоростью $v_0$, меньше критической.

A5 Найдите время $\tau$, за которое расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза. Ответ выразите через $L$, $v_0$ и $v_{\text{cr}}$.

A6 Каков угол поворота стержня $\theta(\tau)$ к моменту времени $\tau$? Ответ выразите через $v_0$ и $v_{\text{cr}}$.

Часть B. Движение в поле неподвижного диполя (2.6 балла)

Во всех последующих частях задачи рассматривается система, в которой момент импульса не сохраняется. Система та же, что и в предыдущей части, однако теперь диполь закреплен, и в его поле движется частица массой $m$ с зарядом $Q$. Для описания движения будем использовать полярную систему координат, т.е. положение заряда будем описывать расстоянием до диполя $r$ и углом $\theta$, отсчитываемым против часовой стрелки (см. рис. 3). Изначально заряд покоился на расстоянии $L$ от диполя, и в некоторый момент ему сообщили скорость $v_0$, направленную перпендикулярно стержню.

B1 Найдите потенциал $\varphi(r, \theta)$ в точке с координатами $(r, \theta)$, где $r \gg d$.
Ответ выразите через $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$.

B2 Найдите проекции электрического поля $E_r$ и $E_{\theta}$. Ответ выразите через $r$, $\theta$, $q$, $d$ и $\varepsilon_0$.

B3 Найдите момент сил относительно диполя, действующий на заряд $Q$ в точке с координатами $(r{,}\theta)$. Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $r$,$\theta$ и $\varepsilon_0$.

B4 Найдите азимутальную компоненту скорости $v_{\theta}$.
Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$.

B5 Найдите радиальную компоненту скорости $v_{r}$ как функцию $r$ и $\theta$.
Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$, $\varepsilon_0$, $r$ и $\theta$.

B6 За какое время $\tau'$ расстояние между диполем и зарядом уменьшается в два раза?
Ответ выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$.

Часть C. Круговое движение (1.7 балла)

В данной части задачи заряд $Q$ массой $m$ соединен с диполем непроводящим стержнем длиной $L$, так что заряд движется по окружности радиусом $L$, причём в положении, показанном на рис.3, скорость заряда равна $v_0$. Стержень вращается свободно.

C1 Найдите максимальную и минимальную скорости заряда $v_{\max}$ и $v_{\min}$.
Ответы выразите через $v_0$, $Q$, $q$, $m$, $d$, $L$ и $\varepsilon_0$.

C2 Найдите силу $N$, действующую на заряд со стороны стержня.\\
Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, $v_0$, $\theta$ и $\varepsilon_0$.

C3 Возможно ли движение заряда по окружности при отсутствии стержня?
Если да, то какова должна быть начальная скорость $v_{\text{cr}}$?
Ответ выразите через $m$, $L$, $Q$, $q$, $d$, и $\varepsilon_0$.

C4 Начальная скорость заряда равна $v_{\text{cr}}$, полученной в предыдущем пункте.
Изобразите траекторию, описываемую зарядом за большое время, учитывая потери энергии на излучение.

Часть D. Сечение падения в центр неподвижного диполя (1.3 балла)

Рассмотрим поток частиц с зарядом $Q$ и массой $m$, движущихся в направлении угла $\theta_0$ со скоростью $v_0$ из бесконечности, как показано на рис.4.

D1 Считая применимым выражения для потенциала диполя $\varphi(r{,}\theta)$ при любых значениях $r$, покажите, что частицы могут упасть в центр поля диполя при углах $\theta_0<\pi/2$.

Примечание: Сечением падения называется площадь поперечного сечения потока падающих в центр поля частиц, на бесконечности летящих в направлении центра поля с одинаковыми по модулю и направлению скоростями.

D2 Найдите сечения падения $\sigma$ в центр поля диполя.
Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$ и $\varepsilon_0$.

Часть E. Рассеяние на малые углы (2.0 балла)

Рассмотрим движение заряда $Q$ массой $m$ из бесконечности со скоростью $v_0$. На бесконечности прицельный параметр заряда равен $b$ (см.рис.5).

E1 Определите минимальное расстояние $r_{min}$ между частицей и диполем.
Ответ выразите через $q$, $Q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$.

Рассмотрим случай рассеяния на малые углы, соответствующий таким прицельным параметрам $b$, что:
$$b\gg\sqrt{\cfrac{Qqd}{\varepsilon_0mv^2_0}}
$$

E2 Определите угол отклонения $\Delta{\theta}$ скорости частицы от первоначального направления, когда она снова окажется бесконечно далеко от диполя. Считайте, что $\Delta{\theta}\ll{\theta_0}$.
Ответ выразите через $Q$, $q$, $d$, $m$, $v_0$, $\theta_0$, $b$ и $\varepsilon_0$.