Logo
Logo

Поломка пружины

Рассмотрим две одинаковые идеальные лёгкие пружины с коэффициентом жёсткости $k$ и пренебрежимо малой длиной в недеформированном состоянии. Обе пружины соединяют с шариком массой $m$, а свободный конец пружины 1 прикрепляют к потолку. Известно, что по достижении любой из двух пружин некоторой критической длины (про неё пока известно, что она больше $\frac{mg}k$, $g$ — ускорение свободного падения) эта пружина ломается.
Как показал эксперимент, если за нижний конец пружины 2 потянуть медленно, то первой сломается пружина 1, а если быстро — пружина 2.

1 Запишите уравнение движения, которому удовлетворяет длина $x_1(t)$ пружины 1, если к концу пружины 2 приложена сила $F(t)$.

Для простоты положим\[F(t)=\begin{cases}0,&t < 0\\\alpha t,&t\ge0\end{cases}\]Здесь $\alpha > 0$ характеризует скорость растяжения.

2 Найдите длины $x_1(t)$, $x_2(t)$ пружин 1 и 2 соответственно в момент времени $t > 0$.

Обозначим момент первой поломки одной из пружин как $t_0$.

3 Найдите диапазон значений $\alpha$, при которых пружина 1 ломается первой гарантированно.

4 Для остальных значений $\alpha$ найдите условия, которым должен удовлетворять $t_0$, чтобы первой сломалась пружина 1.

5 При каких условиях первой сломается пружина 2? Объясните результаты эксперимента.

Пусть теперь критическая длина $L$ известна.

6 Найдите условие на $\alpha$, при котором пружина 2 сломается первой. Может ли произойти так, что обе пружины сломаются одновременно? Найдите условие на $\alpha$, при котором это происходит.