В состоянии теплового равновесия концентрация $n(x)=n_0+\delta n(x)$ электронов в металле также становится слегка неоднородной, $|\delta n(x)|\ll n_0$. Из-за этого внутри металла возникает слабое электрическое поле $E_x(x)$, направленное вдоль оси $x$, а на его поверхности $x=\pm L$ – поверхностные заряды $\sigma_+$ и $\sigma_-$ соответственно. Масса электрона равна $m$, его заряд – $-e$, $(e > 0)$. Постоянная Больцмана равна $k_\mathrm B$, влиянием гравитации можно пренебречь.
Неоднородность концентрации $n(x)$ вызовет диффузию частиц. Введём плотность потока частиц $j_x(x)$ как отношение число частиц, проходящих в единицу времени через элементарную площадку, лежащую в плоскости $yz$. Для плотности потока имеет место закон Фика:\[j_x(x)=-D\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}n(x),\]где $D$ -- коэффициент диффузии, зависящий от параметров газа как\[D=c\frac{\sqrt{T(x)}}{n(x)},\]$c$ – известная постоянная величина. Поскольку в равновесии ток через металл протекать не должен, диффузионный ток нейтрализуется за счёт дрейфового тока, создаваемого термоЭДС. Пусть удельное сопротивление металла равно $\rho$ и является известной величиной, не зависящей от состояния электронного газа. Диэлектрическая проницаемость вакуума равна $\varepsilon_0$.

1 Получите выражение для электрического поля $E_x(x)$ внутри пластины. Выразите ответ через $n(x)$, $T(x)$, $\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}n(x)$ и другие величины.

2 Из теоремы Гаусса выведите уравнение, которому удовлетворяет $E_x(x)$. Используя результат предыдущего пункта, получите уравнение на $n(x)$ и граничные условия на него.

Примечание: в теореме Гаусса необходимо учитывать и положительные заряды.

3 Линеаризуйте уравнение на $n(x)$, оставив только члены, линейные по $\delta n(x)$ и $\delta T(x)$. Решите уравнение, получив явно $\delta n(x)$ (в ответ могут входить $\sigma_+$ и $\sigma_-$).

4 Учитывая, что электронный газ в металле находится локально в состоянии механического равновесия, получите и линеаризуйте уравнение, которому удовлетворяет $\delta T(x)$. Используя результат предыдущего пункта, получите явный вид $\delta T(x)$.

5 Найдите коэффициент Зеебека $S$ – отношение разности потенциалов и разности температур между двумя концами металла $(x=\pm L)$:\[S=\frac{U(L)-U(-L)}{T(L)-T(-L)}.\]

(Конечно, корректный анализ термоэлектрических явлений в металлах нужно проводить с точки зрения квантовой теории, и к реальным металлам упрощённая классическая модель применима лишь качественно.)