Пружина эффективной нулевой длины (ПНД) это пружина, у которой сила пропорциональна длине пружины: $F=kL$ для $L>L_0$, где $L_0$ — минимальная длина (длина нерастянутой пружины). На рис. 1 показана зависимость силы $F$ от длины $L$ для ПНД, где наклон есть жесткость пружины $k$.

ПНД используются в сейсмографии и позволяют очень точно измерять изменения в ускорении свободного падения $g$. Здесь и далее мы рассматриваем однородную ПНД, у которой вес $Mg$ превышает $kL_0$. Введём безразмерный коэффициент $\alpha=kL_0/Mg<1$, характеризующий относительную жесткость пружины. Игрушка-пружинка «слинки» может являться примером такой ПНД (но не обязательно).

Часть A. Статика (3.0 балла)

A1  ^0.50 Рассмотрим кусочек нерастянутой ПНД длиной $\Delta \ell$. Пружину растянули силой $F$ в условиях невесомости. Какова длина $\Delta y$ этого кусочка в зависимости от $F, \Delta \ell$ и параметров пружины?

A2  ^0.50 Для кусочка длиной $\Delta \ell$ вычислите работу $\Delta W$, необходимую для его растяжения от длины $\Delta \ell$ до длины $\Delta y$.

Далее в этой задаче мы будем обозначать точки пружины с помощью расстояния $\ell\:(0\le\ell\le L_0)$, которое измеряется от нижней точки пружины, когда она не растянута. В частности, для каждой точки пружины значение $\ell$ остаётся неизменным при растяжении пружины.

A3  ^2.00 Предположим, что мы удерживаем пружину за верхний конец так, что пружина растягивается под собственным весом. Определите полную длину $H$ растянутой пружины в положении равновесия. Выразите ответ через $L_0$ и $\alpha$.

Часть B. Динамика (5.5 балла)

Проведем следующий эксперимент. Пружина подвешена за верхний конец и находится в покое. В некоторый момент пружину отпускают, и она начинает сжиматься, причем, сжатие происходит постепенно, сверху вниз, и нижняя часть остаётся неподвижной (рис. 2). С течением времени сжатая часть движется как твердое тело и собирает остальные витки пружины, а неподвижная часть становится короче. Каждая точка пружины начинает движение только тогда, когда движущаяся часть достигнет этой точки. Нижний конец пружины начинает движение только тогда, когда пружина полностью сожмется и приобретёт длину $L_0$. После этого, сжатая пружина падает, как твердое тело в поле тяжести.

В последующих частях задачи используйте описанную выше модель.

Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Пренебрегать $L_0$ нельзя.

B1  ^2.50 Найдите время $t_c$, которое пройдет с момента отпускания пружины до сжатия пружины до минимальной длины $L_0$. Ответ выразите через $L_0$, $g$ и $\alpha$.

Посчитайте числовое значение $t_c$ для пружины с параметрами $k=1.02~\text{Н}/\text{м}$, $L_0=0.055~\text{м}$ и $M=0.201~\text{кг}$, считайте, что $g=9.80~\text{м}/\text{с}^2$.

B2  ^2.50 В этой части $\ell$ используется для обозначения конкретной точки пружины, а именно границы между частью I (рис. 2, движущаяся часть) и частью II (неподвижная часть). В некоторый момент времени, пока существует неподвижная часть, ее масса равна $m(\ell)=\frac{\ell}{L_0} M$, а подвижная часть движется с мгновенной скоростью $v_I (\ell)$. Покажите, что для этого момента времени (когда существует неподвижная часть) скорость движущейся части описывается выражением $v_I (\ell)=\sqrt{A\ell+B}$. Выразите константы $A$ и $B$ через $L_0$, $g$ и $\alpha$.

B3  ^0.50 Используя пункт B.2, найдите минимальную скорость $v_{\text{min}}$ движущейся части пружины в ходе движения: от момента отпускания до падения пружины на землю. Выразите ответ через $L_0$, $\alpha$, $A$ и $B$.

Часть C. Энергетическая (1.5 балла)

C1  ^1.50 Найдите механическую энергию $Q$, которая перешла в тепло, начиная с момента отпускания пружины и до момента прямо перед касанием пружиной о землю. Выразите ответ через $L_0$, $M$, $g$ и $\alpha$.