В 2015 году гравитационно-волновая лаборатория LIGO впервые в истории зарегистрировала гравитационные волны (GW). Это событие, получившее название GW150914, было вызвано двумя черными дырами, которые двигались по квази-круговым орбитам. В этой задаче вам предстоит оценить некоторые параметры этой системы, по данным зарегистрированного сигнала.
A1 1.00 Рассмотрим систему из двух звезд массами $M_1, M_2$, находящихся, соответственно, в точках $\vec r_1, \vec r_2$, относительно центра масс системы, т.е. $$M_1\vec r_1+M_2\vec r_2=0.$$ Звезды изолированы от всех остальных объектов Вселенной и движутся с нерелятивистскими скоростями. Из законов Ньютона можно получить ускорение массы $M_1$: $$\frac{\mathrm d^2\vec r_1}{\mathrm dt^2}=-\alpha\frac{\vec r_1}{r^n_1},$$ где $r_1=|\vec r_1|, r_2=|\vec r_2|$. Найдите $n\in N$ и $\alpha=\alpha(G,M_1,M_2),$ где $G\approx 6.67\cdot 10^{-11}~Н\cdot м^2/кг$ – гравитационная постоянная.
A2 1.00 Полная механическая энергия системы двух тел, движущихся по круговым орбитам, задается формулой: $$E=A(\mu, \Omega, L)-G\frac{M\mu}{L},$$ где $$\mu\equiv\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}, \quad M\equiv M_1+M_2,$$ приведенная масса и полная масса системы соответственно, $\Omega$ – угловая скорость, а $L$ – расстояние между двумя массами $L=r_1+r_2$. Получите формулу для $A(\mu, \Omega, L)$.
Теория гравитации (общая теория относительности), окончательно сформулированная Эйнштейном в 1915 году, предсказывает, что гравитационное взаимодействие распространяется со скоростью света. Переносчиком этого взаимодействия являются гравитационные волны. Гравитационные волны испускаются любой ускоряющейся массой, что выражается в потере ею энергии.
Рассмотрим систему из двух изолированных точечных частиц. Эйнштейн доказал, что для достаточно малых скоростей испускаемые гравитационные волны:
Здесь, $c\approx 3\cdot 10^8~м/с$ – скорость света. Для системы из двух точечных частиц, вращающихся в плоскости $xy$, величины $Q_{ij}$ даны в следующей таблице ($i,j$ – номер строки и столбца, соответственно) $$\begin{gathered}&Q_{11}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 x_A^2-y_A^2\right), \qquad &Q_{22}=\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(2 y_A^2-x_A^2\right), \\&Q_{33}=-\sum_{A=1}^2 \frac{M_A}{3}\left(x_A^2+y_A^2\right),\qquad &Q_{12}=Q_{21}=\sum_{A=1}^2 M_A x_A y_A,\end{gathered}$$и $Q_{ij}=0$ для всех иных комбинаций $i$ и $j$. Здесь $(x_A,y_A)$ положение массы $A$ в системе центра масс.
B1 1.00 Для круговых орбит, описанных в пункте A2, компоненты $Q_{ij}$ зависят от времени $t$ следующим образом: $$Q_{ii}=\frac{\mu L^2}{2}(a_i+b_i\cos kt), Q_{ij} \stackrel{i\ne j}{=}\frac{\mu L^2}{2}c_{ij}\sin kt.$$ Найдите $k$. Ответ выразите через $\Omega$.
Найдите значения чисел $a_i$, $b_i$, $c_{ij}$.
B3 1.00 Если бы гравитационных волн не существовало, оба тела вращались бы по круговым орбитам бесконечно долго. Однако, излучение гравитационных волн приводит к потере энергии и, следовательно, к медленному уменьшению радиусов орбит.
Покажите, что изменение угловой скорости со временем ${\mathrm d\Omega}/{\mathrm dt}$ описывается формулой $$ \left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5, $$ где $M_c$ – так называемая «chirp mass». Выразите $M_c$ через $M$ и $\mu$. Эта масса определяет скорость, с которой увеличивается частота вращения при уменьшении радиуса орбиты.
Примечание. Слово «chirp» в переводе означает «чириканье», «щебетанье». Звук возрастающей частоты, создаваемый маленькими птицами.
B4 2.00 Пользуясь предыдущими данными, найдите связь угловой частоты $\Omega$ с частотой гравитационных волн $f_{\mathrm{GW}}$.
Для любой гладкой функции $F(t)$ и $a\ne1$ $$ \frac{\mathrm{d} F(t)}{\mathrm{d} t}=\chi F(t)^a \implies F(t)^{1-a}=\chi(1-a)\left(t-t_0\right) ,$$ где $\chi$ – некоторая постоянная, а $t_0$ – произвольная константа интегрирования.
Покажите, что из уравнения\[\left(\frac{\mathrm{d} \Omega}{\mathrm{d} t}\right)^3=(3 \xi)^3 \frac{\Omega^{11}}{c^{15}}\left(G M_{\mathrm{c}}\right)^5\] следует, что частота гравитационных волн равна $$ f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p} .$$ Определите постоянную $p$.
14-го сентября 2015 г. LIGO зарегистрировал событие GW150914, показанное на рисунке. Детектор LIGO представляет собой Г-образную систему, состоящую из двух 4-км плеч. Плечи детектора линейно реагируют на проходящую гравитационную волну, так что сигнал воспроизводит волну.
В данном случае волна была создана парой черных дыр, движущихся по квази-круговым орбитам. Потери энергии за счет излучения приводят к уменьшению радиусов орбит, в конце концов черные дыры сталкиваются. Пик, следующий за точкой $\mathrm D$ на рисунке, примерно соответствует моменту столкновения.
B5
1.00
По данным рисунка оцените $f_{\mathrm{GW}}(t)$ для следующих двух моментов времени$$t_{\overline{\mathrm{AB}}}=\frac{t_{\mathrm{B}}+t_{\mathrm{A}}}{2} \quad \text { и } \quad t_{\overline{\mathrm{CD}}}=\frac{t_{\mathrm{D}}+t_{\mathrm{C}}}{2} .$$Пусть формула$$
f_{\mathrm{GW}}^{-8 / 3}=8 \pi^{8 / 3} \xi\left(\frac{G M_c}{c^3}\right)^{(2 / 3)+p}\left(t_0-t\right)^{2-p}
$$ справедлива в течении всего процесса сближения черных дыр вплоть до столкновения. Массы черных дыр одинаковы. Оцените величину chirp mass $M_c$, а также полную массу системы $M$. Ответ дайте в массах Солнца $M_{\odot}\approx 2\cdot 10^{30}~ кг$.
B6 1.00 Оцените расстояние между двумя объектами в момент времени $t_{\overline{\mathrm{CD}}}$.
Оцените максимальный размер каждого объекта $R_{\mathrm {max}}$.
Найдите величину $R_{\odot}/R_{\mathrm {max}}$, тем самым, сравните этот размер с радиусом Солнца $R_{\odot}\approx 7\cdot 10^5~км$.
Оцените линейную скорость каждого объекта на орбите в этот момент времени $v_{\mathrm{col}}$ и сравните ее со скоростью света $v_{\mathrm{col}}/c$.
Придите к выводу, что сталкивающиеся объекты чрезвычайно компактны и движутся действительно очень быстро! WOW, look at you!