Pho.rs: Метеорит Марибо

1.1 ^1.30 Используя эти данные и данные на рис.1.1 вычислите скорость Марибо.
Кривизной поверхности Земли можно пренебречь.

1 3D-рисунок или понятные и правильные рисунки в проекциях	0.50
2 Ответ: $v = 28.6~\text{км/с}$	0.80

1.2a ^0.70 Оцените какое время требуется, чтобы скорость метеорита уменьшилась на $10\%$: с $v_M$ до $0.90 v_M$.

1 Интегрированием: $t = \cfrac{m_M}{k \rho_{atm} \pi R_M^2} \left( \cfrac{1}{0.9} - 1\right) \cfrac{1}{v_M}$ или взятием среднего ускорения: $t = \cfrac{m_M}{k \rho_{atm} \pi R_M^2} \cdot \cfrac{0.1}{0.95^2} \cdot \cfrac{1}{v_M}$	0.50
2 Число: $t \in [0.87; 0.88]~\text{с}$	0.20

1.2b ^0.30 Вычислите во сколько раз кинетическая энергия метеорита, вошедшего в земную атмосферу $E_{kin}$ больше энергии $E_{melt}$, требуемой для полного расплавления метеорита.

1 $\frac{E_{kin}}{E_{melt}}=\frac{\frac{1}{2} v_M^2}{c_{sm}\left(T_{sm}-T_0\right)+L_{sm}}$	0.20
2 $\frac{E_{kin}}{E_{melt}}=2.1\cdot 10^2$	0.10

1.3a ^0.60 Определите методом размерностей значения степеней $\alpha, \beta, \gamma$ и $\delta$.

1 Система уравнений: $$\begin{cases} \beta+\delta=0\\ -3\beta+2\gamma+\delta=1\\ \alpha-2\gamma-3\delta=0\\ -\gamma-\delta=0 \end{cases}$$	4 × 0.10
3 $$\begin{cases} \alpha = +1/2\\ \beta=-1/2\\ \gamma=-1/2\\ \delta=+1/2 \end{cases}$$	4 × 0.05

1.3b ^0.40 Вычислите толщину $x$ после $t = 5~с$ падения и определите отношение $x/R_M$.

1 $x(5~\text{с}) = 1.6~\text{мм}$	0.30
2 $\cfrac{x}{R_M}=0.012$	0.10

1.4a ^0.30 Запишите схему превращения $_{37}^{87}Rb$ в $_{38}^{87}Sr$ при распаде.

1 ${ }_{37}^{87} \mathrm{Rb} \rightarrow{ }_{38}^{87} \mathrm{Sr}+{ }_{-1}^0 \mathrm{e}+\bar{v}_{\mathrm{e}}$	0.30
2 Забыто нейтрино	-0.10

1.4b ^0.70 Покажите, что отношение $^{87}Sr/^{86}Sr$ в настоящее время, построенное в зависимости от отношения $^{87}Rb/^{86}Sr$ в настоящее время для различных образцов одного и того же метеорита, лежит на прямой линии (так называемой изохроне) с углом наклона $a(t) = (e^{\lambda t} - 1)$. Здесь $t$ — это время, исчисляемое с момента создания минералов, а $\lambda$ — постоянная распада, обратно пропорциональная периоду полураспада $T_{1/2}$.

1 $^{87}\mathrm{Rb}(t)={}^{87}\mathrm{Rb}(0) \cdot \mathrm{e}^{-\lambda t}$	0.20
2 $^{87}\mathrm{Sr}(t) = {}^{87}\mathrm{Sr}(0) + \left[ {}^{87}\mathrm{Rb}(0) - {}^{87}\mathrm{Rb}(t)\right]$	0.30
3 Получено уравнение прямой с угловым коэффициентом $(\mathrm{e}^{\lambda t} -1)$	0.20

1.4c ^0.40 Определите возраст метеорита $\tau_M$, используя изохрону на рис.1.2(b).

1 $\tau_M = 3.4 \cdot 10^9~\text{лет}$

0.40

1.5 ^0.60 Рассчитайте период вращения кометы Энке $t_{Encke}$ по орбите.

1 Записан 3-й закон Кеплера: $T^2 \propto a^3$	0.20
2 $t_{Encke} = 3.30~{лет} = 1.04 \cdot 10^8~\text{с}$	0.40

1.6a ^0.70 Предположим, что астероид врезался в Северный Полюс. Найдите максимальное изменение угловой ориентации Земной оси после столкновения.

1 Момент инерции Земли: $I = 0.83 \cdot \cfrac{2}{5} m_E R_E^2$	0.10
2 Понимание, что $\overrightarrow{L_{ast}} \perp \overrightarrow{L_E}$ и приводит к повороту $\overrightarrow{L_E}$	0.30
3 $\Delta \theta = 4.27 \cdot 10^{-8}~\text{рад} = 2.45\cdot 10^{-6}~{}^\circ$	0.30

1.6b ^0.70 Предположим, что астероид упал строго радиально в области экватора. Найдите максимальное изменение продолжительности одного суточного вращения Земли $\Delta \tau_{vrt} $ после столкновения.

1 Записан/используется закон сохранения момента импульса: $\Delta (I_E \omega_E) = 0$	0.20
2 $\Delta \tau_{vrt} = +6.84 \cdot 10^{-5}~\text{с}$	0.50

1.6c ^0.70 Предположим, что астероид ударился в Землю в области экватора по касательной. Найдите максимальное изменение продолжительности одного суточного вращения Земли $\Delta \tau_{tan}$ после столкновения.

1 Записан/используется закон сохранения момента импульса: $L_E \pm L_{ast} = L'_E$	0.20
2 $\|\Delta \tau_{tan}\| = 3.62 \cdot 10^{-3}~\text{с}$	0.50

1.7 ^1.60 Рассчитайте $v_{imp}^{max}$ — наибольшее возможное значение скорости $v_{imp}$.

1 Учтена 2-я космическая скорость $v_2 = \sqrt{\cfrac{2Gm_S}{a_E}}$	0.40
2 Учтена орбитальная скорость Земли $v_E = \cfrac{2 \pi a_E}{1~\text{год}}$	0.40
3 Учтено ускорение по мере сближения с Землей	0.40
4 Ответ: $v_{imp}^{max} = \sqrt{\left( v_2 + v_E \right)^2 + \cfrac{2Gm_e}{R_E}}$	0.20
5 Число: $v_{imp}^{max} = 72.8~\text{км/с}$	0.20

Метеорит Марибо

Разбалловка