При соударении двух высокоэнергетических протонов в Большом Адронном Коллайдере рождаются различные частицы (электроны, мюоны, нейтрино, кварки и соответствующие им античастицы). Большинство этих частиц можно зарегистрировать с помощью детектора. Однако, кварки не могут существовать в свободном состоянии, и быстро подвергаются адронизации, т.е. превращаются в адронные струи – узконаправленные потоки частиц. В пространстве, где происходит соударение протонов, присутствует сильное магнитное поле. Оно искривляет траектории высокоэнергетических заряженных частиц, и это позволяет рассчитать их импульс. В детекторе ATLAS создается однородное магнитное поле индукцией $2.00~Тл$. Если в процессе соударения рождаются частицы с импульсом, меньше некоторого значения, то в магнитном поле они будут двигаться по окружности малого радиуса и не достигнут детектора (поэтому не смогут быть обнаружены). Нейтрино, в силу своей природы, пролетят через детектор не взаимодействуя с ним (поэтому также не могут быть обнаружены). Численные значения:

• масса электрона $m=9.11\cdot 10^{-31}~кг$
•  элементарный заряд $e=1.60\cdot 10^{-19}~Кл$
•  скорость света $c=3.00\cdot 10^8~м/с$
•  электрическая постоянная $\varepsilon_0=8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м$

Часть А. Детектор ATLAS (4 балла)

A1  ^0.50 Найдите циклотронный радиус $r$ – радиус круговой траектории электрона в магнитном поле, перпендикулярном вектору его скорости. Ответ выразите через кинетическую энергию электрона $K$, модуль его заряда $e$, массу $m$ и величину магнитной индукции $B$. Считайте электрон нерелятивистской, классической частицей.

Электроны, рождающиеся в установке ATLAS, в действительности, являются релятивистскими. Однако, формула для циклотронного радиуса продолжает быть справедливой, если рассматривать релятивистский импульс.

A2  ^0.50 Рассчитайте минимальное значение импульса электрона, которое позволяет ему вылететь за пределы внутренней части цилиндрического детектора. Ее радиус – $1.1~м$. Электрон рождается в точке соударения протонов, расположенной на оси цилиндра. Ответ дайте в единицах $МэВ/c$.

Когда релятивистская частица с зарядом $e$ и массой $m$ движется с ускорением, перпендикулярным скорости, она излучает электромагнитные волны. Мощность такого синхротронного излучения задается формулой: $$P=\frac{e^2a^2\gamma^4}{6\pi \epsilon_0c^3},$$ где $a$ – ускорение, а $\gamma=[1-(v/c)^2]^{-1/2}$.

Частица считается ультрарелятивистской, когда ее скорость очень близка к скорости света.

A3  ^1.00 Мощность излучения ультрарелятивистской частицы задается формулой $$P=\xi \frac{e^4}{\epsilon_0 m^k c^n}E^2B^2,$$ где $\xi$ – численный коэффициент, $n$, $k$ – целые числа, $E$ – энергия заряженной частицы, $B$ – величина магнитной индукции поля. Найдите $\xi$, $n$ и $k$.

A4  ^1.00 В ультрарелятивистском пределе энергия электрона зависит от времени следующим образом$$E(t)=\frac{E_0}{1+\alpha E_0t},$$ где $E_0$ – начальная энергия электрона.

Найдите $\alpha$. Ответ выразите через $e$, $c$, $B$, $\varepsilon_0$ и $m$.

A5  ^0.50 При столкновении пучков рождается электрон с энергией $100~ ГэВ$, который летит в радиальном направлении. Оцените, какую энергию он потеряет из-за синхротронного излучения за время пока не покинет детектор.

Выразите ответ в $МэВ$.

A6  ^0.50 Найдите, как зависит циклотронная частота электрона от времени в ультрарелятивистском пределе.

Часть B. В поисках нейтрино (6 балла)

Рассмотрим процесс столкновения двух протонов (см. рис). В результате соударения образовались $t$-кварк и $\bar t$-антикварк. $t$-кварк распадается на бозон $W^+$ и на $b$-кварк, а $\bar t$-антикварк распадается на бозон $W^-$ и на $\bar b$-антикварк. Далее бозон $W^+$ распадается на антимюон $\mu^+$ и нейтрино $v$, а бозон $W^-$ на кварк и антикварк. Ваша задача – рассчитать параметры нейтрино по значениям импульсов зарегистрированных частиц.

В этой задаче, считайте, что все струи и частицы, кроме $t$-кварка и бозонов $W^{\pm}$, не имеют массы.

Импульсы продуктов распада $t$-кварка приведены в таблице ниже. Приведены компоненты импульсов всех частиц, кроме проекции импульса нейтрино на ось $z$. Известно, что полный импульс частиц, равен нулю только в проекции на поперечную плоскость $xy$. И отличен от нуля в проекции на ось $z$ (вдоль линии столкновения). Это позволяет находить значения импульсов частиц.

В таблице ниже приведены значения компонент импульсов трех частиц, образовавшихся в результате распада $t$-кварка, в том числе и нейтрино.

B1  ^1.50

Найдите квадрат массы $m_W$ бозона $W^+$. Ответ выразите через компоненты импульсов нейтрино и антимюона:

• поперечные $$\vec p_{\mathrm T}^{(\nu)}=p_x^{(\nu)}\hat i+p_y^{(\nu)}\hat j,\qquad \vec p_{\mathrm T}^{(\mu)}=p_x^{(\mu)}\hat i+p_y^{(\mu)}\hat j,$$
• и продольные (вдоль оси $z$) $p_z^{(\mu)}$, $p_z^{(\nu)}$.

B2  ^1.50 Вычислите (в $ГэВ/c$) два возможных значения продольной компоненты импульса нейтрино $p_z^{(\nu)}$. Массу бозона $W^+$ примите равной $m_W=80.4~ГэВ/c^2$.

B3  ^1.00 Вычислите массу $t$-кварка (в $ГэВ/c^2$), соответствующую каждому из двух полученных в предыдущем пункте значений проекции импульса нейтрино.

Примечание. Если Вы не смогли получить два решения в пункте B2, используйте следующие значения: $$p_z^{(\nu)}=70~ГэВ/c,\qquad p_z^{(\nu)}=-180~ГэВ/c.$$

Нормализованное число соударений для расчета массы $t$-кварка из экспериментальных включает две компоненты: «сигнал» (данные, соответствующие распаду $t$-кварка) и «фон» (данные, соответствующие другим процессам, проходящим без $t$-кварка). Экспериментальные данные учитывают оба процесса (см. рис).

B4  ^1.00 По графику распределения значений массы $t$-кварка, скажите, какое из двух ранее найденных значений массы $t$-кварка правильно с наибольшей вероятностью? Оцените вероятность получения этого наиболее вероятного значения.

B5  ^1.00 Для этого наиболее вероятного значения массы $t$-кварка, вычислите расстояние, которое он преодолеет до того как распадется. Время жизни $t$-кварка в состоянии покоя $5\cdot 10^{-25}~с$.