Численные значения:

•  атмосферное давление при нормальных условиях $1.013\times 10^5~ Па = 760~ мм. рт. ст$.

Часть А. Физика кровеносной системы

Приближенно кровеносные сосуды можно считать цилиндрическими. Известно, что для стационарного нетурбулентного потока несжимаемой жидкости в недеформируемом цилиндре разность давлений на концах цилиндра задается формулой $$\Delta P=\frac{8l\eta}{\pi r^4}Q,$$ где $l$ и $r$ длина и радиус цилиндра соответственно, $\eta$ — вязкостъ жидкости, а $Q$ — объемный расход (объем жидкости, протекающей через поперечное сечение цилиндра за единицу времени). Эта формула дает верное по порядку значение для разницы давлений даже в случае пульсирующего потока, нежестких стенок сосуда, имеющих сложную форму. То, что кровь — это не просто жидкость, а смесь клеток и плазмы, также несущественно. Более того, эта формула имеет такой же вид, что и закон Ома. Проведем аналогию: объемный расход жидкости соответствует электрическому току, а разность давлений — разности потенциалов. Таким образом, величина $\Delta P=\frac{8l\eta}{\pi r^4}$ — сопротивление.
Рассмотрим симметричную сеть мелких артерий, доставляющих кровь от крупной артерии к капиллярам. В этой сети каждый сосуд делится на два одинаковых сосуда (см. рис). Сосуды каждого последующего уровня — более тонкие и короткие, чем на предыдущем уровне. Будем считать, что радиус и длина сосудов, принадлежащих двум соседним уровням, $i$ и $i+1$, связаны между собой соотношениями: $r_{i+1}=r_i/2^{1/3}$ и $l_{i+1}=l_i/2^{1/3}.$

a.1  ^1.30 Найдите объемный расход $Q_i$ в одиночном сосуде $i$-го уровня. Ответ выразите через число уровней сети $N$, вязкость $\eta$, радиус $r_0$ и длину $l_0$ первого сосуда и разницу давлений $\Delta P=P_0-P_{\mathrm{cap}}$ между сосудом нулевого уровня и капиллярами.

a.2  ^0.50 Рассчитайте объемный расход $Q_0$ (в мл/ч) в сосуде нулевого уровня. Его радиус — $6.0 \times 10^{-5} ~м$, длина — $2.0 \times 10^{-3}~ м$. Давление на входе в сосуд — $55~ мм. рт. ст.$, давление в капиллярах — $30~ мм. рт. ст.$, число уровней сети $N = 6$. Вязкость крови $\eta = 3.5 \times 10^{-3}~ кг/(м\cdotс)$.

Электрическая RLC модель кровеносных сосудов

Представление сосудов в виде жестких цилиндров может быть усовершенствовано путем введения некоторых поправок. Особенно важно учесть нестационарность потока, а также изменение диаметра сосудов при пульсирующем потоке крови. Кроме того, как показывают наблюдения, в широких сосудах давление крови варьируется довольно значительно, в то время как в более тонких сосудах амплитуда колебаний давления намного меньше, и поток крови практически не зависит от времени.
При увеличении давления в реальном сосуде его диаметр увеличивается. Это приводит к увеличению объема крови, которая находится внутри сосуда. Когда давление снизится, этот сосуд будет источником крови для следующего сосуда. Это похоже на поведение конденсатора в электрической цепи.
Из-за нестационарности потока крови нужно учесть инерцию жидкости, считая ее пропорциональной плотности $\rho = 1.05 \times 10^3 ~кг/м^3$. Электрическим эквивалентом будет индуктивность. Полная электрическая схема такой модели сосуда приведена на рисунке. Эквивалентные емкость и индуктивность задаются следующими выражениями: $$C=\frac{3l\pi r^3}{2Eh}; L=\frac{9lp}{4\pi r^2},$$ соответственно, где $h$ — толщина стенки сосуда, а $E$ — модуль Юнга (для сосудов его можно считать равным $E = 0.06 ~МПа$).

a.3  ^2.00 В установившемся режиме расход в сосуде колеблется с угловой частотой $\omega$.
Найдите амплитуду колебаний давления на выходе сосуда $P_{\mathrm{out}}$. Ответ выразите через амплитуду колебаний на его входе $P_{\mathrm{in}}$, угловую частоту $\omega$, сопротивление $R$, индуктивность $L$ и емкость $C$. Найдите соотношение между $\eta,\rho,E,h,r$ и $l$, при котором на низких частотах амплитуда колебаний давления на выходе сосуда меньше, чем амплитуда колебаний давления на его входе.

a.4  ^0.70 Для сети сосудов, описанной в пункте a.2, оцените максимальную толщину стенки сосуда $h$, для которой выполняется условие из пункта a.3. Считайте, что $h$ не зависит от уровня сосуда.

Часть B. Рост опухоли

Рассмотрим группу здоровых клеток, окруженную нерастяжимой мембраной (так формируется ткань). Таким образом, ткань сохраняет свою начальную сферическую форму радиуса $R$ (см. рис).

Изначально в ткани отсутствуют какие-либо напряжения — в любой ее точке давление равно атмосферному.
В момент времени $t=0$ опухоль начинает расти в центре сферы и, по мере того как она разрастается, давление внутри ткани увеличивается. Будем считать, что оба типа ткани (здоровая $\mathrm N$ и опухолевая $\mathrm T$) — сжимаемы, и их плотности $\rho_{\mathrm N}$ и $\rho_{\mathrm T}$ растут линейно с давлением: $$\rho_{\mathrm N}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm N}}\right), \rho_{\mathrm T}=\rho_0\left(1+\frac{p}{K_{\mathrm T}}\right),$$где $\rho_0$ — плотность ткани при нормальном давлении, $p$ — избыточное давление по сравнению с атмосферным, $K_{\mathrm N}$, $K_{\mathrm T}$ — модули объемного сжатия нормальной и опухолевой тканей, соответственно. Опухолевая ткань обычно более жесткая, поэтому у нее более высокий объемный модуль упругости.
Считайте, что при росте опухоли масса здоровых клеток не меняется.

b.1  ^1.00 Найдите отношение объема опухоли к общему объему ткани $v=V_{\mathrm T}/V$. Ответ выразите через отношение $\mu=M_{\mathrm T}/M_{\mathrm N}$ массы опухоли $M_{\mathrm T}$ к массе нормальной ткани $M_{\mathrm N}$ и отношения соответствующих модулей объемного сжатия $\kappa=K_{\mathrm T}/K_{\mathrm N}$.

Одним из методов лечения рака является гипертермия. В этом методе, раковые клетки избирательно нагреваются от нормальной температуры человеческого тела $37^{\circ}\mathrm C$ до температуры, превышающей $43^{\circ}\mathrm C$, что вызывает их смерть. В настоящее время ученые работают над созданием углеродных нанотрубок, покрытых особыми белками, которые могут связываться с раковыми клетками. При облучении ткани инфракрасным излучением, нанотрубки поглощают его значительно эффективнее, чем окружающие ткани. Таким образом, можно разогреть нанотрубки и опухолевую ткань до нужной температуры, не повреждая здоровую ткань.
Пусть здоровые клетки, клетки опухоли и окружающие ткани все имеют одинаковую теплопроводность $k$. Считайте, что плотность потока тепловой энергии (энергия проходящая в единицу времени через единицу площади) равна произведению теплопроводности $k$ и градиента температуры $dT/dr$. Нанотрубки распределены по объему опухоли равномерно и при облучении выделяют тепловую мощность на единицу объема $\mathcal P$. Примите температуру окружающих тканей вдали от опухоли равной нормальной температуре тела.

b.2  ^1.70 Найдите температуру в центре опухоли в стационарном режиме. Ответ выразите через $\mathcal P,k$, температуру человеческого тела и радиус опухоли $R_{\mathrm T}$.

b.3  ^0.50 Рассчитайте минимальную мощность на единицу объема $\mathcal P_{\mathrm {min}}$, которая нужна, чтобы разогреть все раковые клетки в опухоли радиусом $5.0~ см$ до температуры, превышающей $43.0^{\circ}\mathrm C$. Теплопроводность тканей — $k = 0.60~ Вт/(К\cdotм)$.

Пусть опухолевая ткань содержит сосудистую систему, как в пункте a.1. Когда опухоль разрастается, давление $p$ в ней становится выше, чем давление в капиллярах $P_{\mathrm {cap}}$. При этом радиус сосудов уменьшается на величину $\delta r$. Если давление превысит критическое значение $p_c$ (которому соответствует $\delta r_c$), нормальное кровоснабжение опухоли будет нарушено из-за слипания капилляров. Давление и изменение радиуса сосудов связаны друг с другом следующим соотношением:
$$\frac{p}{P_{\mathrm {cap}}}-1=\left(\frac{p_c}{P_{\mathrm {cap}}}-1\right)\left(2-\frac{\delta r}{\delta r_c}\right)\frac{\delta r}{\delta r_c}.$$ В следующем пункте считайте, что при росте опухоли изменяются радиусы сосудов только на уровне $N-1$. Считайте также, что разность $p-P_{\mathrm {cap}}$ мала.

b.4  ^2.30 Найдите относительное уменьшение расхода $\frac{\delta Q_{N-1}}{Q_{N-1}}$ в самых тонких сосудах. Ответ выразите через относительный объем опухоли $v=V_{\mathrm T}/V$, $K_{\mathrm N}, N, p_c, \delta r_c,r_{N-1}, P_{\mathrm {cap}}$.