Китайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса $R$ cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс $C$ волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние $\alpha R$, как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом $\theta$. Точка $A$ — точка касания волчка с полом.

Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится.

Определим $xyz$ как вращающуюся систему координат, в которой $\widehat{\mathbf{z}}$ стационарна и направлена вверх. При этом ось симметрии волчка всегда располагается в плоскости $xz$ (см. рисунок 1b). При виде сверху ось волчка всегда совпадает с осью $x$.

На рисунке 2 показаны фазы движения волчка после раскручивания:

• (a) фаза I: сразу после начала вращения $(\theta\sim 0)$,
• (b) фаза II: через небольшое время после начала $(0<\theta<\pi/2)$,
• (c) фаза III: стержень впервые касается пола $(\theta> \pi/2)$,
• (d) фаза IV: после переворота волчок вращается на стержне $(\theta\sim\pi)$,
• (e) фаза V: установившееся вращение на стержне $(\theta = \pi)$.

Определим $XYZ$, как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость $XY$ — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат $xyz$, она получается из $XYZ$ вращением относительно оси $Z$ на угол $\phi$ (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих $\widehat{\mathbf{z}} = \widehat{\mathbf{Z}}$.

Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера ($\theta$, $\phi$, $\psi$). Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат $XYZ$ к промежуточной системе координат $xyz$, и от промежуточной $xyz$ к системе координат $123$, жёстко связанной с волчком.

• Угол $\theta$ — угол между осью симметрии волчка и осью $Z$.
• Угол $\phi$ — угол поворота относительно оси $Z$ (угол между промежуточным единичным вектором $\widehat{\mathbf{x}}$ и неподвижным $\widehat{\mathbf{X}}$, а также между $\widehat{\mathbf{y}}$ и $\widehat{\mathbf{Y}}$).
• Угол $\psi$ — угол вращение относительно оси симметрии волчка.
  

Система координат $123$ жёстко связана с волчком. Она получается из $xyz$ вращением на угол $\theta$ относительно единичного вектора $\widehat{\mathbf{y}}$, таким образом вектор $\widehat{\mathbf{3}}$ совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат $xyz$ к $123$ показан на рисунке 3b. В частости $\widehat{\mathbf{2}} = \widehat{\mathbf{y}}$.

В процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера ($\theta$, $\phi$, $\psi$), а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования.

В этой задаче требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них.

В движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке $A$ до касания пола стержнем. Пусть ${\mathbf v}_A$— скорость движения точки $A$ волчка относительно пола. Коэффициент трения $\mu_k$ между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения $|\mathbf{F_f}|=\mu_k N$, где $\mathbf{F}_f= F_{f,x}\hat{\mathbf{x}} + F_{f,y}\hat{\mathbf{y}} $, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю.

Пусть $m$ — масса волчка. Его моменты инерции: $I_3$ относительно оси симметрии, а $I_1=I_2$ относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс $C$ в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор $\mathbf{s}$ определяет положение центра масс волчка, а $\mathbf{a}=\overrightarrow{CA}$ вектор из центра масс в точку касания волчка и пола.

Все ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат $xyz$ (если не сказано обратного)!

Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс $C$ (если не сказано обратного)!

При записи ответов считайте $N$ известным!

Кроме части A8,
считайте, что $\theta < \pi/2$, и что стержень не касается пола!

A1 Найдите полную силу $\mathbf{F_{\rm{ext}}}$, действующую на китайский волчок. Изобразите все действующие на волчок силы в проекции на плоскости $xz$ и $xy$. Укажите направление ${\mathbf v}_A$ на вашем рисунке в проекции на плоскость $xy$.

A2 Найдите полный внешний момент действующих на волчок сил $\vec{\pmb{\tau}}_{\rm{ext}}$ относительно центра масс.

A3 Покажите, что скорость точки $A$ не имеет $z$-компоненты, т.е. можно записать ${\mathbf v}_A = v_x \hat{\mathbf{x}} + v_y \hat{\mathbf{y}} $. Если требуется, считайте условие для точки касания $ (\mathbf{s}+\mathbf{a})\cdot\widehat{\mathbf{z}} = 0$ данным.

A4

Найдите полную угловую скорость $\vec{\pmb{\omega}}$ вращения волчка относительно его центра масс $C$. Ответ выразите через производные углов Эйлера:

• $\dot{\theta}=\mathrm{d}\theta/\mathrm{d}t$,
• $\dot{\phi}=\mathrm{d}\phi/\mathrm{d}t$,
• $\dot{\psi}=\mathrm{d}\psi/\mathrm{d}t$.

Дайте ответы в двух системах координат:

• в координатах $xyz$,
• в координатах $123$.

A5 Найдите Полную энергию движения волчка. Выразите ответ через производные углов Эйлера $v_x$, и $v_y$. Если записать ответ через $\dot{\mathbf{s}}=\mathrm{d}\mathbf{s}/\mathrm{d}t$, то вы получите только часть баллов.

A6 Найдите скорость изменения $z$-компоненты момента импульса.

A7 Какие силы совершают работу кроме силы тяжести? Выразите через $\mathbf{v}_A$ с какой скоростью меняется полная энергия волчка. В пункте A5
полная энергия состояла из нескольких частей. Определите компоненты сил и моментов сил, которые меняют распределение энергии между этими частями.

A8 Качественно изобразите следующие части полной энергии, как функции времени, в течение всех фаз движения китайского волчка (от I до V, показаны на рисунке 2): полная энергия $E_T$, потенциальная гравитационная энергия $U_G$, кинетическая энергия поступательного движения $K_T$, кинетическая энергия вращения $K_R$.

A9 Покажите, что компоненты момента импульса $\mathbf L$ и угловой скорости $\pmb{\omega}$, которые перпендикулярны единичному вектору $\mathbf{\widehat{3}}$ пропорциональны друг другу, то есть $$\mathbf L\times \mathbf{\widehat 3}=k(\pmb\omega\times \mathbf{\widehat 3}).$$ Определите коэффициент пропорциональности $k$.

Интегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса.

A10 При движении китайского волчка не сохраняется ни энергия, ни момент импульса. Это происходит из-за диссипативных сил и момента внешних сил. Однако, сохраняется постоянной величина $\lambda$, которая называется интегралом Желлета. Она показывает сохраняющуюся компоненту момента импульса. Это означает, что существует некоторый вектор $\mathbf{v}$, такой что $\lambda = \mathbf{L}\cdot\mathbf{v}$ постоянно во времени.

Используя результаты предыдущих пунктов, найдите $\mathbf{v}$. Покажите, что производная $\lambda$ по времени равна нулю.