Китайский волчок — это особый волчок, который переворачивается при вращении. Представьте волчок, как усеченную сферу радиуса $R$ cо стержнем на оси. Волчок симметричен относительно этой оси. Центр масс $C$ волчка сдвинут относительно геометрического центра сферы на расстояние $\alpha R$, как показано на рисунке 1a. Отклонение стержня от вертикали в любой момент времени характеризуется углом $\theta$. Точка $A$ — точка касания волчка с полом. Если волчок такой формы раскрутить достаточно быстро, то стержень начнёт опускаться до тех пор, пока волчок не встанет и не начнёт вращаться на нём. Далее волчок начнёт замедляться и остановится.
Определим $xyz$ как вращающуюся систему координат, в которой $\widehat{\mathbf{z}}$ стационарна и направлена вверх. При этом ось симметрии волчка всегда располагается в плоскости $xz$ (см. рисунок 1b). При виде сверху ось волчка всегда совпадает с осью $x$.
На рисунке 2 показаны фазы движения волчка после раскручивания:
Определим $XYZ$, как неподвижную инерциальную систему координат. Плоскость $XY$ — пол, на котором находится волчок. Выше определена система координат $xyz$, она получается из $XYZ$ вращением относительно оси $Z$ на угол $\phi$ (рис. 3a). В частности единичные векторы направляющих $\widehat{\mathbf{z}} = \widehat{\mathbf{Z}}$.
Вращение твёрдого тела можно описывать углами Эйлера $(\theta,\ \phi,\ \psi)$. Опишем через эти углы, переходы от неподвижной системы координат $XYZ$ к промежуточной системе координат $xyz$, и от промежуточной $xyz$ к системе координат $123$, жёстко связанной с волчком. Угол $\theta$ — угол между осью симметрии волчка и осью $Z$. Угол $\phi$ — угол поворота относительно оси $Z$ (угол между промежуточным единичным вектором $\widehat{\mathbf{x}}$ и неподвижным $\widehat{\mathbf{X}}$, а также между $\widehat{\mathbf{y}}$ и $\widehat{\mathbf{Y}}$). Угол $\psi$ — угол вращение относительно оси симметрии волчка.
Система координат $123$ жёстко связана с волчком. Она получается из $xyz$ вращением на угол $\theta$ относительно единичного вектора $\widehat{\mathbf{y}}$, таким образом вектор $\widehat{\mathbf{3}}$ совпадает с осью симметрии волчка. Переход от системы координат $xyz$ к $123$ показан на рисунке 3b. В частости $\widehat{\mathbf{2}} = \widehat{\mathbf{y}}$
В процессе движения китайского волчка все три угла Эйлера $(\theta,\ \phi,\ \psi)$, а также положение центра масс меняются. Нахождение полного решения о движении китайского волчка сложная задача для компьютерного моделирования. В этой задаче требуется требуется записать уравнения движения китайского волчка и сделать некоторые частные выводы из них.
В движении волчка ключевой является сила трения, возникающая между ним и полом. Считайте, что волчок касается пола в точке $A$ до касания пола стержнем. Пусть ${\mathbf v}_A$— скорость движения точки $A$ волчка относительно пола. Коэффициент трения $\mu_k$ между волчком и полом — это коэффициент трения скольжения. Сила трения скольжения $|\mathbf{F_f}|=\mu_k N$, где $\mathbf{F}_f= F_{f,x}\hat{\mathbf{x}} + F_{f,y}\hat{\mathbf{y}} $, а $N$ — сила нормальной реакции опоры. Считайте, что изначально волчок только крутится относительно своей оси, начальный импульс волчка равен нулю.
Пусть $m$ — масса волчка. Его моменты инерции: $I_3$ относительно оси симметрии, а $I_1=I_2$ относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через центр масс $C$ в плоскости перпендикулярной оси симметрии. Пусть вектор $\mathbf{s}$ определяет положение центра масс волчка, а $\mathbf{a}=\overrightarrow{CA}$ вектор из центра масс в точку касания волчка и пола.
Все ответы дайте в системе отсчёта связанной с системой координат $xyz$ (если не сказано обратного)! Все моменты сил и моменты импульса рассматриваются относительно центра масс $C$ (если не сказано обратного)! При записи ответов считайте $N$ известным! Кроме части A8, считайте, что $\theta < \frac{\pi}{2}$, и что стержень не касается пола!
Интегралы движения — это величины, которые остаются постоянными в процессе движения. Такие величины часто значительно упрощают вычисления. Обычно это энергия, импульс или момент импульса.