За более чем полувековую историю освоения космоса, вокруг Земли скопилось огромное количество космического мусора, состоящего из нефункционирующих спутников, использованных верхних ступеней ракет и прочих объектов, не выполняющих никаких полезных функций. Для очистки орбит от космического мусора в настоящее время планируют специальные миссии. Предполагается, что специальные аппараты — космические буксиры — захватывают крупные объекты космического мусора и сводят их в плотные слои атмосферы или на специальные орбиты-захоронения. Однако перед тем, как отправлять буксир для захвата космического мусора, важно понимать вращательную динамику этих объектов на орбите. В данной задаче вам предстоит спланировать подобную миссию по очистке орбит от ненужных объектов, анализируя различные факторы влияющие на изменение параметров их движения.
В данной задаче в качестве крупного объекта космического мусора будет рассмотрена использованная верхняя ступень ракеты, схематично показанная на Рис. Круговой линией схематически показан сферический топливный бак ракеты.
Введем систему координат $C_{xy}$, связанную со ступенью ракеты, как показано на Рис., с началом в центре масс $C$. Ось $x$ совпадает с осью симметрии объекта, а ось $y$ перпендикулярна к оси $x$. Моменты инерции объекта относительно этих осей
Рассмотрим движение ступени с моментом импульса $L$, который составляет угол $\theta$ с осью симметрии (см. Рис). В данном пункте будем считать, что топливный бак пуст, и никакие внешние силы или моменты сил на ступень не действуют.
A1 0.20 Найдите проекции угловой скорости объекта $\vec\omega$ на оси $x$ и $y$, используя тот факт, что момент импульса записывается как $\vec L=J_x\omega_x\vec e_x+J_y\omega_y\vec e_y$, где $\vec e_x$ и $\vec e_y$ — единичные векторы осей $x$ и $y$. Ответ выразите через $L=|\vec L|$, угол $\theta$, и моменты инерции $J_x, J_y$.
A2 0.40 Найдите кинетическую энергию $E_x$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_x$. Найдите кинетическую энергию $E_y$ вращения ступени с угловой скоростью $\omega_y$. Найдите полную кинетическую энергию вращательного движения ступени $E=E_x+E_y$ как функцию ее момента импульса $L$ и $\cos \theta$.
В последующих подпунктах задания А считайте, что ступень свободно вращается с начальным моментом импульса $L$ и начальным углом $\theta(0)=\theta_0$.
A3 1.20 Пусть ось $x_0$ — начальное положение оси симметрии $C_x$ ступени относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Используя законы сохранения, найдите максимальный угол $\psi$, между осью симметрии $C_x$ ступени и её первоначальным направлением $x_0$ в течение свободного вращения объекта. Примечание: Вектор момента импульса ступени сохраняется, так как на ступень не действуют никакие внешние моменты сил.
Рассмотрим систему отсчета $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$, ось $y_1$ которой сонаправлена с постоянным вектором момента импульса $\vec L$ (см. Рис выше). Система $C_{{x_1}{y_1}{z_1}}$ вращается вокруг оси $y_1$ так, что ось симметрии ступени ракеты все время остается в плоскости $C_{{x_1}{y_1}}$.
A4 2.00 Пусть даны значения $L,\theta(0)=\theta_0$ и моментов инерции $J_x,J_y$. Найдите как функции времени угловую скорость вращения $\Omega(t)$ системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$ вокруг оси $y_1$, а также направление и величину угловой скорости ступени $\vec \omega_s(t)$ относительно системы отсчета $C_{{x_1}{y_1}}$. Ответ для направления $\vec \omega_s(t)$ приведите через угол $\gamma_s(t)$, который $\vec \omega_s(t)$ составляет с осью $C_x$. Примечание: Вектор угловой скорости может быть представлен в виде суммы $\vec\omega=\vec\omega_x+\vec\omega_y=\vec\Omega+\vec\omega_s$.
Большая часть топлива сжигается во время подъема ракеты, однако, после отсоединения от ступени полезной нагрузки в топливном баке остается неизрасходованное жидкое топливо. Масса $m$ остатков жидкого топлива мала по сравнению с массой $M$ ступени ракеты. Движение жидкого топлива в баке и соответствующие силы вязкого трения между топливом и стенками бака приводят к потерям энергии. В результате переходного процесса через некоторое время энергия достигает своего минимума.
B2 0.60 Пусть в начальный момент времени угловая скорость $\omega(0)=\omega_1=1\mathcal~рад/с$ составляет угол $\gamma(0)=\gamma_1=30^{\circ}\mathrm C$ с осью симметрии ступени. Вычислите значение $\omega_2$ угловой скорости $\omega$ после прохождения переходного процесса. Моменты инерции ступени равны $J_x=4200~кг\cdot м^2$ и $J_y=15000~кг\cdot м^2$.
Ещё один важный фактор для вращательной динамики рассматриваемых объектов — взаимодействие с магнитным полем Земли. Для начала решим вспомогательную задачу.
Рассмотрим тонкостенную немагнитную сферическую оболочку с толщиной стенок $D$ и радиусом $R$, помещенную в однородное магнитное поле $\vec B$. Поле $\vec B$ меняется медленно, а производная по времени $\dot{\vec B}$ ( $\vec B$ ”с точкой”) есть постоянный вектор, составляющий угол $\alpha$ с направлением вектора $\vec B$ (см. Рис). Удельное сопротивление материала сферической оболочки равно $\rho$.
Давайте выясним, как изменяется вращение ступени, движущейся по круговой полярной орбите с периодом обращения $T=100~мин$ (см. Рис ниже). Будем считать, что характерное время переходного процесса много меньше, чем характерные времена процессов изменения динамики ступени вследствие взаимодействия с геомагнитным полем. Рассмотрим, что происходит после завершения переходных процессов. Положим, что в начальный момент времени ступень вращается с угловой скоростью $\omega_2$ вокруг оси, перпендикулярной к плоскости орбиты.
C3 0.40 Магнитное поле Земли $\vec B_E$ можно считать полем точечного диполя, помещенного в центр Земли. Дипольный момент равен $\vec\mu_E$ и направлен противоположно оси $Y$. Величина магнитного поля $B$ в точке, где орбита ступени пересекает экваториальную плоскость $XZ$, равна $B_0=20\mu T$. Найдите магнитное поле $\vec B_E(u)$ в точке орбиты, характеризуемой углом $u$, как показано на Рис. Положительное направление отсчета угла $u$ совпадает с направлением движения по орбите. Ответ представьте в виде проекций $\vec B_E(u)$ на оси $XYZ$. Примечание: Для последующих вычислений может оказаться полезным, если проекции магнитного поля $\vec B_E(u)$ выразить как функции от $2u$ вместо функций от $u$. Магнитное поле диполя в точке, заданной вектором $\vec r$ можно записать как $$ \vec{B}=\frac{\mu_0}{4 \pi}\left(\frac{3(\vec{\mu} \cdot \vec{r}) \vec{r}}{r^5}-\frac{\vec{\mu}}{r^3}\right). $$
Считайте что ступень ракеты сделана в основном из дерева, за исключением топливного бака, выполненного из проводящего материала. Тогда взаимодействие ступени ракеты с геомагнитным полем может быть смоделировано как взаимодействие лишь со сферической оболочкой. Толщина стенок оболочки $D=2~мм$, радиус $R=4~м$ и удельное сопротивление $\rho=2.7\cdot10^{-8}~Ом\cdot м$.