|
A1. 1
Получен ответ: $$\Delta_{12}=L_1+2L_3-L_2 $$ Примечание: если в данном пункте написано лишнее слагаемое $\lambda/2$ (или же вычислялась разность фаз, а не оптических путей), то пункты $\mathrm{A2}$, оценивается в соответствии с данной ошибкой. |
0.20 |
|
| A2. 1 Показано, что оптические пути лучей $1$ и $1'$ от зеркала M3 до экрана одинаковы. | 0.50 |
|
|
A2. 2
Показано, что разность оптических путей лучей $1$ и $1'$ от светоделителя до зеркала M3 составляет (т.к изначально в условии не оговаривалась малость углов, оценивается только точный результат): $$\Delta_{11'}=2(L_3+L_4)\sin^2\alpha $$ |
0.50 |
|
|
A2. 3
Получен ответ (т.к изначально в условии не оговаривалась малость углов, оценивается только точный результат): $$\Delta_{1'2}=L_1+2L_3-L_2-2(L_3+L_4)\sin^2\alpha\approx L_1+2L_3-L_2-2(L_3+L_4)\alpha^2 $$ |
0.40 |
|
| B1. 1 Указано, что в силу малости углов между направлениями луча с вертикалью и горизонтом их учёт не требуется для нахождения оптического пути в первом приближении. | 0.20 |
|
| B1. 2 Использован угол наклона светоделителя под углом $\pi/4$ к горизонту для доказательства равенства изменений горизонтальной составляющей оптических путей лучей $1$ и $2$ от зеркал M1 и M2 соответственно до светоделителя, и изменений оптических путей лучей $1$ и $2$ от светоделителя до экрана соответственно. | 2 × 0.30 |
|
| B2. 1 Для луча $1$ используется постоянство оптического пути между зеркалом M3 и экраном. | 0.10 |
|
| B2. 2 Для луча $1$ показано, что оптический путь от зеркала M1 до светоделителя при перемещении точки падения увеличивается так же, как уменьшается сумма оптических путей от пунктирной линии до зеркала M1 и от светоделителя до зеркала M3. | 0.40 |
|
| B2. 3 Для луча $2$ используется постоянство оптического пути от зеркала M2 до светоделителя. | 0.10 |
|
| B2. 4 Для луча $2$ показано, что сумма оптических путей от пунктирной линии до зеркала M2 и от светоделителя до экрана постоянна. | 0.20 |
|
|
B3. 1
Получен ответ для $\delta_O$: $$\delta_O=\cfrac{2\pi(L_1+2L_3-L_2)}{\lambda} $$ |
0.20 |
|
| B3. 2 Указано, что дополнительная разность фаз возникает из — за разных оптических путей лучей до пунктирной линии. | 0.40 |
|
|
B3. 3
Получен ответ для $b$: $$b=L_1+L_2 $$ |
0.40 |
|
Примечание: Далее во всех пунктах задачи можно пользоваться утверждениями пунктов B1-B4, даже если они не доказаны.
| B4. 1 Указано, что если лучи падают на экран в точке с координатой $y$, то координата падения луча $1$ на зеркало M3 также изменяется на $y$. | 0.30 |
|
| B4. 2 Показано, что оптический путь луча $1$ от светоделителя до экрана уменьшается на $2\alpha y$. | 0.30 |
|
|
B5. 1
Получен ответ для $\Delta{y}_m$: $$\Delta{y}_m=2{.}5~\text{мм} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
B5. 2
Получен ответ для $y_1$: $$y_1=1{.}25~\text{мм} $$ Пункт оценивается даже при неправильном знаке. |
0.40 |
|
|
B6. 1
Записана формула: $$I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}\cos\delta $$ |
0.20 |
|
| B6. 2 Учтено, что $I_1=I_2/2$ | 0.10 |
|
|
B6. 3
Получена формула: $$I(y)=I_0\cdot\cfrac{3-2\sqrt{2}\cos\delta(y)}{3+2\sqrt{2}} $$ |
0.30 |
|
|
B6. 4
Для $\delta(y)$ получено: $$\delta(y)=\pm 80\pi\left(1-\cfrac{10y}{1~\text{м}}\right) $$ |
0.30 |
|
|
C1. 1
Учтено, что для каждой из проекций волнового вектора на координатные оси: $$|k_i|=-k_i $$ |
0.10 |
|
|
C1. 2
Получены модули проекций волнового вектора на координатные оси (по $0{.}1$ балла за каждый): $$|k_x|=k\theta_x\qquad |k_y|=k\theta_y\qquad |k_z|=k $$ |
3 × 0.10 |
|
| C2. 1 Показана незвисимость разности фаз от $\theta_x$. | 0.30 |
|
|
C2. 2
Получен ответ: $$\delta_{1''2''}=\cfrac{2\pi}{\lambda}\cdot\left(L_1+2L_3-L_2+(L_1+L_2)\theta_y-2\alpha y\right)+\pi $$ |
0.30 |
|
Подсказка: интеграл некоторой функции $f(\theta_y)$, зависящей только от $\theta_y$, по поверхности диска радиусом $\theta_R$ можно представить в виде:\[I=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\int\limits_{-\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}^{\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}}\mathrm d\theta_x~f(\theta_y)=\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R}\mathrm d\theta_y\cdot 2\sqrt{\theta^2_R-\theta^2_y}f(\theta_y).\]
|
D1. 1
Верная формула для вклада в интенсивность от малого участка звезды: $$dI = J d\theta_x d\theta_y\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2-2\alpha y\big)+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)$$ |
0.30 |
|
|
D1. 2
Формула для интенсивности в произвольной точке в виде интеграла по одной переменной: $$I = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(-\frac{4\pi}\lambda\alpha y+\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2+d) \theta_y + \frac{2\pi}\lambda\big(L_1+2L_3-L_2\big)\right)}\right)d\theta_y$$ |
0.30 |
|
|
D1. 3
Верные значения максимальной и минимальной интенсивностей: $$I_{max} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 + 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$ $$I_{min} = \int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} J\sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\left(3 - 2\sqrt{2}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}\right)d\theta_y$$ |
2 × 0.30 |
|
|
D1. 4
Формула для видности: $$V = \cfrac{2\sqrt{2}\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}\cos{\left(\cfrac{2\pi}{\lambda}(L_1 + L_2 + d) \theta_y\right)}d\theta_y}{3\int\limits_{-\theta_R}^{\theta_R} \sqrt{\theta^2_R - \theta^2_y}d\theta_y}$$ |
0.40 |
|
|
D1. 5
Посчитан интеграл в знаменателе и получен итоговый ответ: \[V=\frac{8\sqrt2}{3\pi}\int\limits_0^1\mathrm dw\sqrt{1-w^2}\cos(\eta w)\] |
0.20 |
|
Подсказка: Первые два нуля интеграла\[F_n=\int_0^1\left(1-w^2\right)^n\cos(\eta w)~\mathrm dw\]как функции $\eta$ приведены в таблице ниже.
| D2. 1 Указано, что первые нули полученного интеграла соответсвуют $\eta_1$ и $\eta_2$ для $n = 0.5$. | 0.40 |
|
|
D2. 2
Верная формула для $\theta_R$: $$\theta_R = \cfrac{(\eta_2 - \eta_1)\lambda}{2\pi(d_2 - d_1)}$$ |
0.30 |
|
|
D2. 3
Верное численное значение углового радиуса: $$\theta_R = 1.18\cdot10^{-7}$$ |
0.10 |
|
|
D2. 4
Верный радиус: $$R = \theta_Rh = 7.16\cdot10^8 \text{км}$$ |
0.10 |
|