Гитарная струна изготавливается из специальной закаленной высокоуглеродистой стали (иногда называемой «музыкальной проволокой»), чтобы обеспечить требуемую высокую прочность на растяжение. Данная работа посвящена изучению свойств такой струны и их изменений, связанных с изменением её температуры.

Оборудование:

1. Установка с натянутой струной и электромагнитным датчиком (a. крепления струны, b. электромагнитный датчик, c. цилиндр-натяжитель, d. подшипники)
2. Мультиметр — 2 шт (красный, черный)
3. Генератор переменного тока
4. Источник постоянного тока
5. Резистор 1 Ом
6. Рулетка
7. Микрометр
8. Провод BNC-крокодил — 1 шт
9. Провод банан-крокодил — 6 шт
10. Провод крокодил-крокодил — 1 шт
11. Малярный скотч

Длину струны, а значит ее натяжение, можно изменять с помощью металлического винта, находящегося снизу корпуса установки. При его вращении металлический цилиндр, закрепленный на нём, двигается вертикально, дополнительно растягивая струну. Далее считается, что струна в исходном состоянии, если цилиндр не касается струны. В исходном состоянии струна уже натянута. Дополнительное натяжение, которое будет создаваться при выполнении работы, связано с добавочным удлинением струны.

Следующие величины могут быть использованы во всех частях задачи:

• Длина струны между точками крепления в исходном состоянии $L = (68.0 \pm 0.2) \ см$;
• Шаг винта, растягивающего струну — $0.70 \ мм/оборот$;
• Линейная плотность струны $\Lambda =  0.778 \ г/м$;
• Tемпературный коэффициент сопротивления $\beta = 2.0 \cdot 10^{-3} \ К^{-1}$. 

Далее, если не указано иного, когда речь идёт о длине струны, имеется в виду часть струны, находящаяся между точками крепления.

Часть А. Измерение модуля Юнга

Первый шаг к нахождению модуля Юнга — связать высоту подъема цилиндра-натяжителя с добавочным удлинением струны.

A1  ^0.50 Пусть вертикальное смещение точки струны, находящейся над цилиндром, составило $\Delta h$. Используя обозначения рисунка выше, получите приближенное выражение для добавочного удлинения струны $\Delta L$, считая
$$
\Delta h^2, \ (h_1 - h_2)^2 \ll a_1^2, \ a_2^2.
$$

Далее для расчетов можно использовать следующие значения:
$$
h_1 = 28 \ мм; \\
h_2 = 16 \ мм; \\
a_1 = a_2 = 40 \ мм. \\
$$

A2  ^0.40 С помощью микрометра измерьте диаметр $d$ натянутой струны. Оцените погрешность полученной величины.

A3  ^0.20 Измерьте длину $L_к$ рабочей части струны (между левым креплением и левым подшипником, согласно рисунку с оборудованием). Оцените погрешность полученной величины.

Пусть $E$ — модуль Юнга материала струны, $l$ — длина части струны, находящейся между точками крепления, в нерастянутом состоянии, $L'$ — длина этой же части в натянутом состоянии (например, в исходном состоянии $L' = L$).

A4  ^0.50 Получите выражение для частоты гармоники с номером $n$ для струны, выразив ее через $E$, $L'$, $l$, $L_к$, $d$, $\Lambda$, $n$.

Включите звуковой генератор. Установите на нем амплитуду напряжения $20 \ В$. Далее при необходимости амплитуду можно уменьшать. Проверьте, что на генераторе выбран синусоидальный тип сигнала. Подключите выводы генератора к выводам датчика на установке. 

Приведите струну в исходное состояние.

A5  ^0.30 Меняя частоту сигналов генератора, добейтесь резонанса струны на первой гармонике. Запишите найденную частоту в лист ответов. Оцените погрешность полученной величины.

Вращением винта добейтесь того, что цилиндр касается струны, но не растягивает ее.

A6  ^1.20 Вращая винт, постепенно растягивайте струну. Проведите измерения частоты первой гармоники при различных положениях винта (не менее 8 точек).

Примечания:

1. Следите за тем, чтобы цилиндр не сошел с оси винта. Для этого рекомендуется сделать не более 10 оборотов.
2. При необходимости можно клеить малярный скотч на установку и наносить на него пометки.

A7  ^1.30 Используя результаты пункта A4, постройте линеаризованный график зависимости частоты $f$ первой гармоники от дополнительного удлинения струны $\Delta L$. Найдите модуль Юнга материала струны $E$ и относительное удлинение струны в исходном состоянии $\varepsilon_0 = \frac{L - l}{l}$. Оцените погрешности полученных величин. 

Часть B. Тепловое расширение

Известно, что металлам свойственно изменять свое сопротивление и размеры с изменением температуры. Пусть $l$ — длина струны в нерастянутом состоянии, $d$ — её диаметр, $R$ — сопротивление, $l_0$, $d_0$, $R_0$ — соответствующие величины при комнатной температуре $T_0$. При относительно небольших изменениях температур (которые рассматриваются в данной задаче) зависимости $l(T)$, $d(T)$, $R(T)$ могут быть заданы формулами:
$$
l(T) = l_0 (1+\alpha(T-T_0)); \\
d(T) = d_0 (1+\alpha(T-T_0)); \\
R(T) = R_0 (1+\beta(T-T_0)).
$$
Величина $\alpha$ называется коэффициентом линейного теплового расширения, $\beta$ — температурным коэффициентом сопротивления. Значение $\beta$ известно и указано в начале задачи. В данной части необходимо определить $\alpha$.

Для нагрева струны через нее нужно будет пропускать постоянный ток. Подключать струну к цепи следует, используя вертикальные металлические стержни, на которых она закреплена. При таком соединении ток не будет проходить через металлический корпус.

Примечания:

1. В течение всего эксперимента напряжение на струне не должно превышать $3 \ В$.
2. Показания источника могут быть неточными, что может значительно повлиять на полученные результаты.
3. Мультиметры не разрешается использовать в режиме амперметра.
4. Резистор при токах $\sim 1 \ А$ значительно нагревается. Будьте осторожны при измерениях.

Приведите струну в исходное состояние.

B1  ^0.70 Придумайте и опишите схему, которая позволит вам измерять сопротивление струны при пропускании через нее тока.

B2  ^2.50 Постепенно увеличивая ток через струну, снимите зависимость частоты первой гармоники $f$ от сопротивления струны $R$ (не менее 10 точек).

Примечание: чтобы избежать слишком «широкого» резонанса, можно попробовать изменить амплитуду генератора.

B3  ^0.50 Найдите $R_0$ — сопротивление струны при комнатной температуре. Оцените погрешность полученной величины.

B4  ^0.70 Получите теоретическую зависимость $f(R)$.

B5  ^1.20 Постройте линеаризованный график зависимости $f$ от $R$. По графику определите значение $\alpha$. Оцените погрешность полученной величины.