Энергонезависимая память (NVRAM, Non-Volatile Random Access Memory) – это разновидность запоминающих устройств с произвольным доступом, способных хранить информацию при отсутствии электрического питания. Возможность независимо в произвольный момент получить доступ к информации в любой ячейке памяти и хранить данные без постоянной подачи питания открыли на момент изобретения огромный технический потенциал, которым мы пользуемся и сейчас (рис. 1).
В 1971 году профессор Леон Чуа опубликовал теоретическое обоснование возможности существования мемристора – электрического элемента, в котором соотношение между напряжением и силой тока зависит от полного заряда, протекшего через элемент.
Вычислительные системы, использующие в своей работе мемристоры, в настоящее время привлекают серьёзное внимание исследователей в области искусственного интеллекта, поскольку работают по принципам, схожим с нейронами человеческого мозга и потенциально могут достичь тех же результатов при гораздо меньших энергозатратах и относительной простоте архитектуры.
Поскольку электрохимические реакции происходят обратимо, сопротивление этого прототипа мемристора в отсутствие тока релаксирует к своему равновесному значению. Для простейшего теоретического описания поведения такого мемристора используются уравнения Уильямса–Струкова:
$\left\{\begin{array}lR(x)=R_\text{off}(1-|x|)+R_\text{on}|x|\\\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\cfrac1\beta I-\alpha x\end{array}\right.$
Здесь $x$ – некоторый параметр, определяющийся внутренним состоянием системы, $\alpha$ и $\beta$ – положительные постоянные, а $R_\text{off}$ и $R_\text{on}=rR_\text{off}$ $(r\gg1)$ – сопротивления мемристора в «выключенном» и «включенном» состояниях соответственно.
Рассмотрим сначала эволюцию состояния мемристора под действием постоянного напряжения $U>0$. Изначально мемристор «выключен» (т.е. $x=0$).
Для удобства дальнейших выкладок введём $\xi=\cfrac{r-1}{\beta R_\text{off}}$. Будем считать, что мемристор включен, если значение его внутреннего параметра $x$ отличается от равновесного не более чем на $10\text%$. Для простоты во всех оставшихся пунктах этой части работайте в пределе больших $U$.
Пусть на мемристор подано переменное напряжение $U\cos\omega t$, причём $U>0$.
B1 1.50 Найдите в первом приближении по малой величине $\dfrac{U}{\beta R_\mathrm{off}\sqrt{\omega^2+\alpha^2}}\ll r^{-1}$ зависимость $x(t)$. Отсюда найдите в первом приближении $\Delta I(\varphi)$ – модуль разности сил тока на разных ветвях кривой гистерезиса при одном и том же напряжении $U\cos\varphi$. Выразите ответы через $U$, $R_\text{off}$, $\alpha$, $\beta$, $r$ и $\omega$.
Введём ширину гистерезисной кривой\[s=\max_\varphi\frac{\Delta I(\varphi)}{2I_0},\]где $I_0$ – амплитуда колебаний силы тока.
Поскольку ширину гистерезисной кривой довольно легко измерить, её можно использовать для определения параметров мемристора. В таблице ниже приведена зависимость $s$ от частоты $f$ подаваемого на мемристор напряжения при напряжении $U=1~В$.
$f,~Гц$ 100 250 500 $s,~10^{-3}$ 47.8 54.1 36.7
Также в выключенном состоянии было измерено сопротивление мемристора $R_\text{off}=300~Ом$.
Запись информации на прототип мемристорного элемента ведётся под напряжением $U=5~В$.
Как видите, исследователи из HP ещё довольно далеки от идеала...
В большинстве материалов поляризованность в отсутствие внешнего поля тождественно равна нулю. Однако существует класс материалов, называемых сегнетоэлектриками, которые даже при нулевом поле остаются поляризованными. Возможность хранить информацию в направлении поляризованности, а также легко её считывать и перезаписывать легла в основу создания ферроэлектрической памяти (FRAM). В этой части задачи мы подробно исследуем эти свойства сегнетоэлектриков.
Объёмная плотность энергии $\mathcal W$ в сегнетоэлектрике зависит от поляризованности $P$ и внешнего электрического поля $E$ как\[\mathcal W=-aP^2+bP^4-PE,\]где $a$ и $b$ – положительные величины, определяемые природой материала. Равновесные значения поляризованности определяются локальными минимумами $\mathcal W$. В отсутствие внешнего поля существует два равновесных состояния сегнетоэлектрика с одинаковой энергией, переходы между которыми невозможны, что используется для хранения информации.
Пусть исходно материал находился в состоянии с меньшим $P$, и в некоторый момент внешнее электрическое поле включили и начали увеличивать. Тогда по достижении полем некоторого критического значения $E_\text{cr}$ локальный минимум с меньшей поляризуемостью исчезнет, и система «перескочит» в единственное оставшееся равновесное состояние, рассеяв в этот момент в виде теплоты энергию $\mathcal Q=-\Delta\mathcal W$ на единицу объёма. Если же после этого медленно выключить внешнее поле, система перейдёт в равновесное состояние с бóльшим $P$, то есть её состояние изменится. Это используется для записи информации.
D1 1.20 Найдите, при каком критическом поле $E_\text{cr}$ в описанной выше ситуации «пропадает» одно из равновесных состояний сегнетоэлектрика. Чему равна поляризация $P_\text{до}$ в этом состоянии непосредственно перед исчезновением? Выразите ответы через $a$ и $b$.
Подсказка: рассмотрите вторую производную объёмной плотности энергии в момент «исчезновения».
В первых коммерческих образцах FeRAM использовался цирконат-титанат свинца, для которого $a=1.9\cdot10^5~\cfrac{Кл^2}{Дж\cdotм}$ и $b=1.7\cdot10^3~\cfrac{Кл^4}{Дж\cdotм^5}$. Ячейки памяти изготавливались по технологическому процессу $l=350~нм$, что можно использовать для оценки объёма ячейки.