A1  ^0,30 Получите дифференциальное уравнение на $x(t)$. Выразите ответ через $U$, $R_\text{off}$, $r$, $\alpha$ и $\beta$.

A2  ^0,40 Упростив в этом пределе уравнение из A1, найдите минимальное значение $x_0$, при котором мемристор можно считать включенным. Выразите ответ через $\xi$, $U$, $\alpha$ и $r$.

Равновесное значение $x$ определяется как корень уравнения $\cfrac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=0\implies$\[\frac{U}{\beta R_\text{off}}\frac1{1+(r-1)|x|}=\alpha x\]Отсюда видно, что в пределе $U\to\infty$ равновесное значение $x$ также будет большим, поэтому можно будет пренебречь единицей в знаменателе. Таким образом, можно записать:\[x^2=\frac U{\alpha\beta R_\text{off}(r-1)}=\frac{U\xi}{\alpha(r-1)^2}\implies\]

A3  ^0,80 Найдите время $\tau$, требуемое на перевод мемристора из выключенного состояния во включенное. Выразите ответ через $\alpha$.

В рассматриваемом пределе уравнение из пункта A1 перепишется в виде:\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac{U}{\beta R_\text{off}(r-1)}\frac1x-\alpha x\overset{y=\frac{\alpha\beta(r-1)R_\text{off}}Ux^2}\implies\frac{\mathrm dy}{1-y}=2\alpha\,\mathrm dt\implies\]\[2\alpha\tau=\int\limits_0^{0.81}\frac{\mathrm dy}{1-y}\]

A4  ^1,00 Найдите затраты энергии $Q$ на перевод мемристора из выключенного состояния во включенное. Выразите ответ через $U$, $\alpha$, $\xi$ и $R_\text{off}$.

Затраты энергии считаются прямолинейно:\[Q=\int\limits_0^\tau\frac{U^2}{R(x(t))}\,\mathrm dt=U^2\int\limits_0^{x_0}\frac{\mathrm dx}{(r-1)R_\text{off}x\left[\frac U{\beta(r-1)R_\text{off}x}-\alpha x\right]}\overset{z=\sqrt{\frac{\alpha\beta(r-1)R_\mathrm{off}}{U}}x}=\frac{U^{3/2}}{R_\text{off}\sqrt{\alpha\xi}}\int\limits_0^{0.9}\frac{\mathrm dz}{1-z^2}\implies\]

B1  ^1,50 Найдите в первом приближении по малой величине $\dfrac{U}{\beta R_\mathrm{off}\sqrt{\omega^2+\alpha^2}}$ зависимость $x(t)$. Отсюда найдите в первом приближении $\Delta I(\varphi)$ — модуль разности сил тока на разных ветвях кривой гистерезиса при одном и том же напряжении $U\cos\varphi$. Выразите ответы через $U$, $R_\text{off}$, $\alpha$, $\beta$, $r$ и $\omega$.

В первом приближении можно считать, что $x\ll1/r$, а потому сила тока мало отличается от $U(t)/R_\text{off}$. Запишем уравнение, определяющее $x$:\[\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=\frac{U\cos\omega t}{\beta R_\text{off}}-\alpha x\]Очевидной подстановкой $x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t$ получаем:

Отклонение $\delta I(t)$ силы тока от $U(t)/R_\text{off}$ определяется изменением сопротивления мемристора:\[\delta I(t)=\frac{U\cos\omega t}{R_\text{off}}\left[1-\frac1{1+(r-1)|x|}\right]=\frac{(r-1)U^2}{\beta R^2_\text{off}(\omega^2+\alpha^2)}\left[\alpha\cos\omega t+\omega\sin\omega t\right]\cos\omega t\]Тогда искомая величина\[\Delta I(\varphi)=\left|\delta I(\varphi/\omega)-\delta I(-\varphi/\omega)\right|\implies\]

B2  ^0,50 Выразите $s$ через $\omega$, $\alpha$, $U$ и $\xi$.

$\underset{\varphi}{\text{max}}~|\sin2\varphi|=1$, амплитуда колебаний силы тока в первом приближении $I_0=U/R_\text{off}\implies$

B3  ^1,50 По приведённым данным вычислите $\alpha$ и $\xi$ с тремя значащими цифрами.

Зависимость величины $\cfrac{\omega U}{2s}$ от $\omega^2$ — линейная с угловым коэффициентом $1/\xi$ и свободным членом $\alpha^2/\xi$. Ответ можно получить по любым двум точкам (это же не PE, в конце концов).

C1  ^0,50 Вычислите с двумя значащими цифрами время $\tau$, за которое происходит запись.

C2  ^0,50 Вычислите с двумя значащими цифрами минимальное количество энергии $Q$, которое необходимо затратить для записи одного бита информации.

D1  ^1,20 Найдите, при каком критическом поле $E_\text{cr}$ в описанной выше ситуации «пропадает» одно из равновесных состояний сегнетоэлектрика. Чему равна поляризация $P_\text{до}$ в этом состоянии непосредственно перед исчезновением? Выразите ответы через $a$ и $b$.

Подсказка: рассмотрите вторую производную объёмной плотности энергии в момент «исчезновения».

Равновесное состояние определяется уравнением:\[\frac{\partial \mathcal W}{\partial P}=0,\qquad \frac{\partial ^2\mathcal W}{\partial P^2} > 0.\]Поскольку при переходе через критическое значение равновесное состояние исчезает, график производной $\mathcal W$ перестаёт пересекать 0. Таким образом, в критическом состоянии график производной должен касаться 0, что эквивалентно:\[ \frac{\partial ^2\mathcal W}{\partial P^2} = 0.\]Значит, одно из равновесных состояний пропадёт в точке\[\begin{cases}\frac{\partial\mathcal W}{\partial P}=-2aP+4bP^3-E=0\\\frac{\partial^2\mathcal W}{\partial P^2}=-2a+12bP^2=0\end{cases}\implies\]

D2  ^0,80 В состояние с какой поляризацией $P_\text{после}$ перейдёт сегнетоэлектрик в результате «перескока»? Выразите ответ через $a$ и $b$.

Нам нужно найти третий корень кубического уравнения\[-2aP+4bP^3-\frac{2a}3\sqrt\frac{2a}{3b}=0,\]если известен кратный корень $P_\text{до}=-\sqrt{a/6b}$. Вспоминая школьную алгебру,

D3  ^0,50 Найдите диссипировавшую при этом в единице объёма энергию $\mathcal Q$. Выразите ответ через $a$ и $b$.

D4  ^0,50 Какое количество энергии $Q_{1\,ТБ}$ необходимо затратить, чтобы записать на FeRAM $1~ТБ=2^{43}~бит$ данных? Выразите ответ через $a$, $b$ и $l$. Вычислите эту величину с двумя значащими цифрами.