Движение как небесных тел, так и микроскопических систем может быть смоделировано непосредственно с помощью соответствующего программного обеспечения. Моделирование включает в себя масштабирование геометрии, но, чтобы смоделированное движение отмасштабированной системы соответствовало движению исходной, время также должно быть подвергнуто масштабированию.

1 Частица движется согласно законам Ньютоновой механики по орбите под действием силы $F(r)$, причём выполняется соотношение $F(\alpha r)=\alpha^kF(r)$, где $k$ — некоторая константа, а $r$ — модуль радиус-вектора частицы. Если геометрические параметры задачи отмасштабированы с параметром $\alpha$, найдите, с каким параметром $\beta$ необходимо при этом отмасштабировать время.

A

2 Покажите, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу геометрических параметров орбиты.