1  ^10.00 Частица движется согласно законам Ньютоновой механики по орбите под действием силы $F(r)$, причём выполняется соотношение $F(\alpha r)=\alpha^kF(r)$, где $k$ — некоторая константа, а $r$ — модуль радиус-вектора частицы. Если геометрические параметры задачи отмасштабированы с параметром $\alpha$, найдите, с каким параметром $\beta$ необходимо при этом отмасштабировать время.

2  ^5.00 Покажите, что квадрат периода обращения планеты вокруг Солнца пропорционален кубу геометрических параметров орбиты.

Cлучай закона всемирного тяготения соответствует $k=2$, тогда произведём масштабирование:$$l'=\alpha l\\\tau'=\beta\tau=\alpha^{-\frac{3}{2}}\tau.$$Избавляясь от $\alpha$ в этих выражениях, получим$$\frac{\tau'^2}{l'^3}=\frac{\tau^2}{l^3}.$$