Оборудование
Теоретическая справка
При распространении звуковых волн в газе частицы воздуха колеблются вдоль направления распространения звуковой волны (продольные волны). Это приводит к локальным изменениям плотности газа $\rho$ и его давления $p$. В гармонических звуковых волнах, распространяющихся вдоль оси $Ox$, изменение давления $\Delta p$ по отношению к равновесному зависит от координаты $x$ и от времени $t$ по закону\[\Delta p(x, t)=p_0 \cos (\omega t \pm k x) \tag{1},\]где $p_0$ — амплитуда колебаний давления.
Знаки «$+$» и «$-$» в аргументе косинуса соответствуют двум направлениям распространения волны («$-$» в положительном направлении, «$+$» в отрицательном). Частота колебаний $f$, циклическая частота $\omega$, волновое число $k$, длина волны $\lambda$, скорость звука $c$ связаны соотношениями $$\omega=2 \pi f,~k=\frac{2 \pi}{\lambda},~c=\lambda f.$$
Уравнение (1) представляет собой уравнение плоской бегущей волны.
В случае взаимодействия или интерференции двух встречных плоских волн возникает колебательный процесс, который называется стоячей волной. При сложении уравнений для двух бегущих навстречу волн одинаковой амплитуды получается уравнение стоячей волны $$\Delta p(x, t)=2 p_0 \cos (k x) \cos (\omega t).$$
Здесь выражение $2 p_0 \cos (k x)$ представляет собой амплитуду колебаний давления в точке пространства с координатой $x$. В точках, координаты которых удовлетворяют условию $|\cos (k x)|=1$ или \[\frac{2 \pi x}{\lambda}=\pm n \pi,~(n=0,1,2 \dots)\tag{2}\]
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Такие точки называются пучностями волны и их координаты равны $x_{п}=\pm n \frac{\lambda}{2}$. В точках, для которых $\cos \left(\frac{2 \pi x}{\lambda}\right)=0$ или \[\frac{2 \pi x}{\lambda}=\pm\left(n+\frac{1}{2}\right) \pi,~(n=0,1,2 \ldots)\tag{3}\] амплитуда колебаний равна нулю. Такие точки называются узлами стоячей волны и их координаты равны $x_у=\pm\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$. Отметим, что точки, соответствующие узлам давления являются пучностями перемещений частиц среды, в которой возбуждена стоячая волна. Наоборот, в точках с пучностями давлений наблюдаются узлы волны для перемещений частиц.
Звуковые волны в газах обычно представляют сумму колебаний с множеством различных частот. Одной из основных характеристик звуковых колебаний является спектр. Под спектром понимают совокупность гармонических колебаний различных частот, на которые может быть разложено сложное колебательное движение. График спектра представляет собой функцию, описывающую зависимость амплитуды гармоник от их частот.
Один из интересных объектов при изучении звуковых колебаний — резонатор в виде трубы, заполненной воздухом открытой с обоих концов, либо закрытой с одного конца. Воздух, ограниченный объемом трубы, является колебательной системой. Как любая колебательная система, выведенный из положения равновесия воздух внутри трубы совершает свободные колебания, называемые собственными или нормальными колебаниями. Частоты, на которых система совершает нормальные колебания, называются собственными частотами или нормальными модами. При возбуждении звуковых колебаний у открытого конца трубы воздух в трубе совершает колебания с частотами, соответствующими собственным. Спектр собственных колебаний зависит от того, открыт или закрыт второй край трубы. Если оба конца трубы открыты, то в трубе возникают стоячие волны, для которых узлы давления располагаются на концах трубы. Длина таких волн соответствует условию \[L=n \frac{\lambda}{2},~(n=1,2,3, \ldots),\] где $L$ --- длина трубы. Для закрытой с одного конца трубы стоячие волны характеризуются пучностью давления (узлом для смещения частиц) на закрытом конце трубы и узлом давления на открытом. В этом случае связь между длиной трубы и длиной волны определяется выражением \[L=n \frac{\lambda}{4},~(n=1,3,5,\dots).\] Для наглядности ниже представлены схемы первых гармоник для открытой и закрытой труб. Гармоника, соответствующая самой низкой собственной частоте (самой большой длине волны) называется основным (нулевым) обертоном, далее с увеличением частоты следуют первый, второй и так далее обертона. На схемах представлены стоячие волны смещения частиц. Буквы $N$ на схемах соответствуют нулевому смещению частиц (узлам стоячей волны смещения), буквы $A$ — максимальной амплитуде стоячей волны смещения.
В нашей работе при анализе спектра звука в цилиндрических трубах предлагается использовать программу Audacity, установленную на Вашем компьютере. Для возбуждения звуковых колебаний следует продувать воздух вблизи открытого конца трубки. Делать нужно это так, чтобы получалось достаточно громко.
Проделайте несколько измерений для выявления лучших условий, дающих хорошую картину пиков. Старайтесь располагать цилиндры и трубку поблизости с компьютером, но не направляйте поток воздуха на сам компьютер. Для начала записи нажмите на характерную красную кнопку и остановите после 5-10 секунд непрерывного выдувания.
Для анализа спектра нужно выделить либо всю дорожку либо ее часть и выбрать в меню следующий пункт (см. рисунок 2):
На рисунке 3 в качестве примера представлен спектр звукового сигнала, зарегистрированный при продувании воздуха вблизи открытого конца трубки, полученный с помощью этой программы.
На графике хорошо выделяются пики, соответствующие частотам стоячих волн в цилиндре. Чтобы понять каким значениям $n$ в формулах (2) и (3) они соответствуют, воспользуйтесь приблизительным значением скорости звука $c=340~\text{м/с}$.
Один из параметров, который вы можете регулировать для получения оптимальной картины — «Размер», который отвечает за степень дискретизации спектра: при уменьшении Размера пики сглаживаются и снижается точность определения положения их максимума, а при большом Размере появляются дополнительные пики, не соответствующие резонансным частотам.
Внимание! Сохраняйте только те спектры, которые будут использованы в решении. Все используемые вами данные должны быть подтверждены файлом со спектром, только они будут оценены.
Используя представления о спектре стоячих волн, возникающих в трубке, уточните скорость звука в воздухе при температуре помещения. Строить график в этом и в следующем пунктах не нужно.
Предложите график зависимости измеряемых величин, по данным которого определите высоту $H$ и внутренний диаметр $D$ мерного цилиндра и оцените погрешность полученных результатов. Измерения проводите в пределах шкалы мерного цилиндра, не менее 5 значений.
Исследуйте зависимость $L_{эфф}$ для мерного цилиндра объемом $50~мл$ при разных объёмах воды в нём. Для этого рассматривайте только один из пиков, соответствующий основному резонансу. Спектры для этого пункта сохраняйте по шаблону 4EX, где X — порядковый номер спектра в данном пункте задачи. Измерения проводите в пределах шкалы мерного цилиндра, не менее 5 значений. Оцените погрешность полученных величин.
Если же выполнить первый пункт не удалось, то примите скорость звука равной $c=340~\text{м/с}$. Укажите это в решении.