Logo
Logo

Магнетрон

И электрическое и магнитное поля воздействуют на движущиеся в них заряженные частицы, которые определенным образом меняют характер своего движения. Всюду в дальнейшем предполагается, что заряженные частицы двигаются в вакууме, а излучением электромагнитных волн можно пренебречь.
В данной задаче рассматривается движение электронов, которые представляют собой классические точечные частицы. При проведении численных расчетов считайте, где необходимо, что электрон обладает отрицательным электрическим зарядом, модуль которого равен $e=1.60\cdot 10^{-19}~Кл$, а его масса равна $m=9.11\cdot 10^{-31}~кг$. Электрическая и магнитная постоянные равны $\varepsilon_{0}=8.85\cdot 10^{-12}~Ф/м$ и $\mu_{0}=1.26\cdot 10^{-6}~Гн/м$, постоянная Больцмана $k_{B}=1.38\cdot 10^{-23}~Дж/К$.

Движение электрона в электрическом и магнитном полях

Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $x$ приложено однородное электрическое поле напряженностью $E$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, также направленную в положительном направлении оси $x$.

3.1  0.20 Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения.

Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $z$ приложено однородное магнитное поле с индукцией $B$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, направленную в положительном направлении оси $x$.

3.2  0.40 Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения.

3.3  0.40 В процессе движения по траектории электрону в некоторый момент времени сообщили дополнительную скорость $\delta u$ в направлении, перпендикулярном его текущей скорости $u$ и лежащем в плоскости его начальной траектории, причем $\delta u \ll u$. Определите период возникших двумерных колебаний электрона относительно его первоначальной невозмущенной траектории.

Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль отрицательного направления оси $x$ приложено однородное электрическое поле напряженностью $E$. Помимо этого, вдоль положительного направления оси $y$ создано однородное магнитное поле с индукцией $B$. Электрон освобождают с нулевой начальной скоростью.

3.4  1.00 Определите максимальное значение координаты электрона $x_{\max}$ за все время его движения.

Пусть в начальный момент времени $t = 0$ электрон покоится в начале координат, а вдоль положительного направления оси $z$ приложено магнитное поле, индукция которого в плоскости $xy$ зависит от расстояния $r$ до оси $z$ по закону $B=\alpha r=\alpha(x^{2}+y^{2})^{1/2}$. Электрону сообщают начальную скорость $u_{0}$, направленную в положительном направлении оси $x$.

3.5  1.40 Определите максимальное расстояние $r_{\max}$ от электрона до оси $z$ в процессе его движения.

В некоторой области пространства создается осесимметричное относительно оси $z$ магнитное поле. В момент времени $t = 0$ магнитное поле отсутствует, а затем начинает медленно нарастать, причем во всех точках плоскости $xy$ вектор индукции поля направлен вдоль оси $z$. По прошествии некоторого промежутка времени индукция магнитного поля достигает предельного значения и перестает изменяться. При этом в плоскости $xy$ распределение поля имеет вид
$$
\begin{equation*}
B =
\begin{cases}
B_{1}, & 0< r < r_{1}, \\
B_{2}, & r_{1} < r < r_{2}, \\
0, & r > r_{2},
\end{cases}
\end{equation*}
$$
где $r$ — расстояние до оси $z$, а $r_[1}$ и $r_[2}$ — известные величины.

В момент времени $t = 0$ электрон покоится в некоторой точке, лежащей в плоскости $xy$. При включении поля электрон начинает двигаться по окружности в плоскости $xy$, центр которой находится на оси $z$.

3.6  1.60 Определите, при каком отношении $B_{1}/B_{2}$ возможно описанное движении электрона.

Цилиндрический магнетрон

Магнетрон — электронный электровакуумный прибор, величина протекающего тока в котором управляется электрическим и магнитным полем. Рассмотрим простейший магнетрон, состоящий из проводящих соосных длинных цилиндрических катода и анода с радиусами $a=3.00\cdot 10^{-1}~мм$ и $b = 6.00~мм$ соответственно, расположенных внутри вакуумной лампы. Лампа находится в центре цилиндрического соленоида, ось которого совпадает с осями катода и анода, а число витков составляет $N = 2590$, длина равна $L = 210~мм$ и диаметр — $D = 105~мм$. Разность потенциалов между катодом и анодом постоянна и равна $V_{0} = 75.0~В$. Считайте, что покидающие катод электроны образуются вследствие термоэлектронной эмиссии и имеют нулевую начальную скорость, а также пренебрегайте пространственным зарядом электронов в лампе.

3.7  1.00 Рассчитайте разность потенциалов $V$ между катодом и точкой в пространстве, расположенной на расстоянии $r = 3.00~мм$ до общей оси лампы и соленоида.

3.8  3.20 Рассчитайте наименьший ток соленоида $I_{\min}$, при котором ток в магнетроне между катодом и анодом обращается в ноль.

3.9  0.80 Найдите условие для температуры катода $T$, при выполнении которого начальную скорость электронов действительно можно считать нулевой.

Математическая подсказка для задач теоретического тура

Вам может понадобиться знание следующих интегралов:
$$\int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}, \text{ где } n \neq −1 \text{ и } C~–~\text{произвольная постоянная};$$
$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C, \text{ где } C~–~\text{произвольная постоянная};$$
$$\int \frac{dx}{{x^2+a^2}^{3/2}}=\frac{x}{a^2(x^2+a^2)^{3/2}}+C, \text{ где } a,~C~–~\text{произвольные постоянные};$$
$$(1+x)^{\gamma} \approx 1+\gamma x+\frac{\gamma(\gamma-1)}{2}x^2, \text{ для } |x| \ll 1 \text{ и любых } \gamma;$$
$$\ln(1+x) \approx x, \text{ для } |x|\ll 1.$$