Logo
Logo

Парниковый эффект

Введение

Любое нагретое тело, температура $T$ которого выше абсолютного нуля, излучает электромагнитные волны. Спектр этого теплового излучения зависит от оптических свойств поверхности тела и его температуры. Несмотря на то, что излучение каждого тела является его индивидуальной характеристикой, известны общие законы, описывающие тепловое излучение.
Закон Кирхгофа. В состоянии термодинамического равновесия отношение излучательной способности тела $r(\lambda,T)$ к его поглощательной способности $k(\lambda,T)$ является универсальной функцией $r_0 (\lambda,T)$, не зависящей от индивидуальных характеристик
$$
\frac{r(\lambda,T)}{k(\lambda,T)}=r_0 (\lambda,T).
$$
Величина $r(\lambda,T)\Delta\lambda$ имеет смысл энергии, испущенной с единицы площади в единицу времени в узком диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$. Поглощательная способность тела $k(\lambda,T)$ — есть безразмерный коэффициент поглощения, равный отношению энергии излучения, поглощенной телом, к полной энергии излучения, падающей на поверхность тела, если длины волн падающего излучения лежат в узком диапазоне длин волн от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$. Если тело полностью поглощает все падающее на него электромагнитное излучение $k(\lambda,T)=1$, то такое тело называется абсолютно черным телом.
Закон смещения Вина. Длина волны $\lambda_{\max}$, для которой функция $r_0 (\lambda,T)$ имеет максимум, связана с абсолютной температурой соотношением
$$
\lambda_{\max} T=b,
$$
где $b=2.898\cdot 10^{-3}~м/К$ — называется постоянной Вина.
Закон Стефана-Больцмана. Суммарная по всем длинам волн излучательная способность черного тела описывается формулой
$$
R(T)=\int\limits_0^{\infty}r_0 (\lambda,T)d\lambda=\sigma T^4,
$$
где $\sigma=5.670\cdot 10^{-8}~Вт/(м^2\cdot К^4)$ — постоянная Стефана-Больцмана.
Используя закон Стефана-Больцмана, формулу для $r_0 (\lambda,T)$ можно представить в виде
$$
r_0 (\lambda,T)=\sigma T^4 \varphi(\lambda,T).
$$
Здесь функция Планка $\varphi(\lambda,T)$ описывает распределение энергии в спектре излучения черного тела; величина $\varphi(\lambda,T)\Delta\lambda$ равна доле энергии теплового излучения, приходящейся на узкий спектральный интервал от $\lambda$ до $\lambda+\Delta\lambda$. Площадь под графиком функции $\varphi(\lambda,T)$ равна единице. В данной задаче рекомендуется использовать графики этой функции, показанные на рисунке ниже и построенные при температурах $t=0^{\circ}\mathrm{C}$ и $t=50^{\circ}\mathrm{C}$.

Используемая модель Земли и ее атмосферы

Изменение климата, связанное с увеличением средней температуры атмосферы, в настоящее время является установленным научным фактом. Считается, что основной причиной глобального потепления является парниковый эффект. Солнечное излучение, основная часть которого лежит в видимой области спектра, практически полностью проходит через атмосферу, а затем поглощается поверхностью земли. Наоборот, тепловое излучение поверхности земли, лежащее в основном в инфракрасной области спектра, существенно поглощается некоторыми атмосферными газами, главным образом водяными парами и углекислым газом. В данной задаче рассматривается простейшая модель парникового эффекта и проводятся некоторые численные оценки его влияния на температуру атмосферы.
Поверхность Земли считается абсолютно черным телом сферической формы, покрытой слоем атмосферы, толщина которого значительно меньше радиуса Земли. Условно, атмосфера разбита на две части: 1) нижний слой, непосредственно примыкающий к поверхности земли и имеющий равную с ней температуру; 2) верхний (парниковый) слой, способный поглощать тепловое излучение, идущее с поверхности земли. Считается, что перенос энергии между Солнцем, земной поверхностью и атмосферой осуществляется только посредством излучения, а температуры земной поверхности и атмосферных слоев одинаковы во всех их точках и не зависят от времени, например от времени суток или времени года. В дальнейшем считайте известной солнечную постоянную $W=1.40\cdot 10^{3}~Вт/м^2$, представляющую собой мощность солнечного излучения, падающего на единичную площадку на Земле, ориентированную перпендикулярно падающему потоку.

Атмосфера без парникового эффекта

2.1  0,20 Рассчитайте длину волны $\lambda_{\max S}$, на которую приходится максимум теплового излучения Солнца, если температура поверхности Солнца примерно равна $T_S=6500~К$.

2.2  1,00 Пренебрегая поглощением атмосферы и считая поверхность земли абсолютно черным телом, рассчитайте установившуюся температуру поверхности Земли $T_0$, а также определите эту температуру $t_0$ по шкале Цельсия. Эта температура называется температурой «черной земли».

2.3  0,20 Рассчитайте длину волны $\lambda_{\max E}$, на которую приходится максимум излучения «черной земли».

2.4  0,20 Рассчитайте мощность солнечного излучения $w$, приходящуюся на единицу площади поверхности Земли.

Различные модели атмосферы

В реальности верхний слой атмосферы достаточно эффективно поглощает электромагнитное излучение некоторых длин волн, лежащих в инфракрасной области спектра. Для примера, на рисунке показана реальная зависимость пропускания атмосферы от длины волны. Как видно, эта зависимость достаточно сложная, поэтому далее в задаче рассматривается несколько упрощенных моделей.

Обозначим $K$ — суммарный коэффициент поглощения верхнего слоя атмосферы для теплового излучения Земли, т.е. отношение энергии теплового излучения, поглощенной верхним слоем атмосферы, к суммарной энергии, падающей на верхний слой атмосферы со стороны земной поверхности.

2.5  1,20 Получите формулу для установившейся температуры поверхности Земли $T_1$ и выразите ее через температуру «черной земли» $T_0$ и коэффициент поглощения $K$.

Максимальный парниковый эффект

Пусть верхний слой атмосферы полностью пропускает солнечное излучение и полностью поглощает тепловое излучение Земли.

2.6  0,50 Рассчитайте на сколько возрастает температура поверхности Земли $\Delta t_1=T_1-T_0$ по сравнению с температурой «черной земли» вследствие максимального парникового эффекта.

Водяной парниковый эффект

Пусть спектральный коэффициент поглощения $k(\lambda)$ верхнего слоя атмосферы является известной функцией длины волны $\lambda$ падающего излучения и не зависит от температуры.

2.7  0,80 Выразите суммарный коэффициент поглощения верхнего слоя атмосферы $K$ через $k(\lambda)$ и функцию распределения Планка $\varphi(\lambda,T_1)$, где $T_1$ — температура поверхности Земли.

Будем считать, что поглощение в верхнем слое атмосферы полностью обусловлено водяным паром. Приближенно можно считать, что водяные пары полностью поглощают излучение, длины волн которого лежат в диапазоне от $5.00$ до $8.00~мкм$, а остальное — полностью пропускается.

2.8  1,20 Используя приведенные во введении графики функции распределения Планка, рассчитайте численные значения суммарного коэффициента поглощения $K$ верхнего слоя атмосферы для двух значений температур поверхности Земли $t_1=0^{\circ}\mathrm{C}$ и $t_1=50^{\circ}\mathrm{C}$.

В указанном диапазоне температур от $t_1=0^{\circ}\mathrm{C}$ до$t_1=50^{\circ}\mathrm{C}$, зависимость суммарного коэффициента поглощения от температуры земли $t_1$ приближенно описывается линейной функцией температуры: $K(t_1 )=K_0 (1+\alpha t_1)$, где $K_0$, $\alpha$ — постоянные.

2.9  0,40 Рассчитайте численные значения параметров $K_0$ и $\alpha$.

В дальнейшем считайте, что искомые изменения температур малы, поэтому при расчетах можно использовать приближенные формулы.

2.10  0,80 Пренебрегая зависимостью коэффициента поглощения атмосферы от температуры и считая его равным коэффициенту поглощения при температуре «черной Земли» $T_0$, рассчитайте изменение температуры поверхности Земли $\Delta t_1=T_1-T_0$.

2.11  1,00 Рассчитайте изменение температуры поверхности Земли $\Delta t_1=T_1-T_0 \ll T_0$, если зависимость коэффициента поглощения атмосферы от температуры описывается определенной выше линейной функцией температуры земли.

Усиление парникового эффекта углекислым газом

Учтем влияние поглощения углекислым газом в атмосфере. При нынешней концентрации углекислого газа в атмосфере (примерно $0.05\%$) можно считать, что углекислый газ полностью поглощает излучение Земли в диапазонах от $2.50$ до $3.00~мкм$ и от $6.50$ до $7.00~мкм$, а в диапазоне от $16.0$ до $18.0~мкм$ коэффициент поглощения равен $0.500$. Для остальных длин волн поглощением излучения углекислым газом можно пренебречь.

2.12  1,00 Оцените на сколько, по сравнению с моделью водяного парникового эффекта, увеличивается температура поверхности Земли из-за поглощения излучения углекислым газом.

2.13  1,50 Оцените на сколько по сравнению с п. 2.12 увеличится температура поверхности Земли, если концентрация углекислого газа в атмосфере увеличится в $\eta=2.00$ раза по сравнению с его нынешней концентрацией.