При помещении проводника в постоянное внешнее электрическое поле на его поверхности появляются электрические заряды. Это явление называется электростатической индукцией, а сами заряды — индуцированными. Оно обусловлено тем, что в проводнике имеется большое количество свободных зарядов, как правило электронов, которые могут свободно перемещаться внутри него. Распределение индуцированных зарядов для проводника произвольной формы может иметь достаточно сложный вид, но при этом остаются справедливыми следующие утверждения: $1)$ Напряженность электрического поля внутри проводника равна нулю. $2)$ Напряженность поля вблизи поверхности проводника направлена по нормали к ней. $3)$ Индуцированные заряды располагаются только на поверхности проводника. $4)$ Все точки проводника имеют одинаковый потенциал. В этой задаче мы рассмотрим несколько приемов расчета электрического поля в присутствии проводников и применим их к конкретной физической ситуации. Считайте известной электрическую постоянную $\varepsilon_0$.

Проводящий шар и точечный заряд

Проводящий шар радиуса $R$ заземлен и на расстоянии $l$ от него располагается точечный заряд $q$. При этом, в соответствии с изложенным выше, на шаре появляются индуцированные заряды, которые искажают поле точечного заряда $q$. К этой ситуации применим метод изображений, суть которого состоит в следующем. Электрическое поле вне шара можно представить как суперпозицию поля точечного заряда $q$ и поля некоторого фиктивного точечного заряда $Q$, расположенного внутри шара на расстоянии $a$ от его центра на линии, соединяющей точечный заряд $q$ с самим центром. Для расчета суммарного электрического поля воспользуемся декартовой системой координат на плоскости, показанной на рисунке ниже. Этого будет вполне достаточно, так как система обладает осевой симметрией.

2.1  ^0.60 Рассчитайте потенциал электрического поля в произвольной точке $A$ с координатами $(x, y)$, лежащей вне шара. Ответ выразите через $q$, $Q$, $l$, $a$, $x$, $y$, $\varepsilon_0$.

2.2  ^0.40 Используя полученное выше выражение, рассчитайте потенциал электрического поля на поверхности шара. Ответ выразите через $q$, $Q$, $l$, $a$, $x$, $R$, $\varepsilon_0$.

2.3  ^1.80 Используя ответ из пункта $2.2$, найдите величину заряда $Q$ и расстояние $a$, выразив их через $q$, $l$, $R$.

2.4  ^0.40 Рассчитайте работу $A$ которую надо совершить над точечным зарядом $q$, чтобы очень медленно удалить его на бесконечность. Ответ выразите через $q$, $l$, $R$, $\varepsilon_0$.

2.5  ^0.60 Найдите собственную энергию взаимодействия $W$ индуцированных зарядов друг с другом и выразите ее через $q$, $l$, $R$, $\varepsilon_0$.

Проводящий шар в однородном поле

Проводящий шар радиуса $R$ помещается во внешнее однородное электрическое поле напряженностью $E_0$. В этом случае поле индуцированных электрических зарядов можно представить как суперпозицию поля двух фиктивных однородно заряженных шаров радиуса $R$, расположенных очень малом расстоянии $a \ll R$ друг от друга. Суммарный заряд этих шаров равен нулю в силу закона сохранения заряда, поэтому можно считать, что один из них заряжен с объемной плотностью заряда $\rho$, а второй — с объемной плотностью $−\rho$.

2.6  ^0.40 Рассчитайте напряженность электрического поля $E_{\rho}$ внутри однородно заряженного шара с объемной плотностью $\rho$ на расстоянии $r$ от его центра. Ответ выразите через $\rho$, $r$, $\varepsilon_0$.

2.7  ^0.40 Рассчитайте напряженность электрического поля в области пересечения двух фиктивных шаров. Ответ выразите через $\rho$, $a$, $\varepsilon_0$.

2.8  ^0.80 Найдите поверхностную плотность индуцированных зарядов $\sigma$ в зависимости от угла $\theta$. Ответ выразите через $E_0$, $\theta$, $\varepsilon_0$.

2.9  ^0.40 Найдите напряженность электрического поля $E$ снаружи шара вблизи точки на его поверхности, характеризуемой углом $\theta$. Ответ выразите через $E_0$, $\theta$.

Проводящий шарик и заряженное кольцо

Тонкое кольцо радиуса $R$ заряжено равномерно по своей длине зарядом $q$. По непроводящей спице, расположенной вдоль оси кольца, может скользить без трения незаряженный маленький проводящий шарик радиуса $r$ и массы $m$.

2.10  ^3.80 Вычислите частоту $\omega$ малых колебаний шарика возле положения равновесия. Ответ выразите через $q$, $R$, $r$, $m$, $\varepsilon_0$.

2.11  ^0.40 Изначально шарик расположен в центре кольца и находится в состоянии покоя. Найдите работу $A$, которую надо совершить, чтобы очень медленно увести шарик вдоль спицы на бесконечность. Ответ выразите через $q$, $R$, $r$, $\varepsilon_0$.