Logo
Logo

Лазер

Согласно квантовой теории молекула может находиться только в определенных состояниях, характеризующихся дискретными значениями энергий $E_0$, $E_1$, $E_2$, $\dots$. Эти состояния изображаются горизонтальными отрезками на вертикальной шкале энергий и пронумерованы в порядке возрастания энергии, начиная с $0$. При отсутствии внешних воздействий молекула находится в состоянии с номером $0$ и минимально возможным значением энергии $E_0$. Это состояние называется основным, а остальные — возбужденными. Молекула может переходить из одного энергетического состояния в другое, поглощая или испуская световые кванты — фотоны. Интенсивность светового потока будем характеризовать плотностью потока фотонов $I$, то есть числом фотонов, проходящих перпендикулярно через единичную площадку в единицу времени. Очевидно, размерность этой величины равна $[I]=м^{-2}\cdot с^{-1}$.
Для дальнейшего рассмотрения необходимо принимать во внимание следующие процессы, происходящие при прохождении света через вещество.

$\textbf{Поглощение}$. Если молекула находится в основном состоянии $0$, то она может поглотить фотон и перейти в возбужденное состояние $1$. Такой переход возможен, если энергия фотона равна разности энергий возбужденного и основного состояний, $h\nu_{01}=E_1-E_0$, где $\nu_{01}$ — частота фотона, а $h=6.63\cdot10^{-34}~Дж\cdot с$ — постоянная Планка. Если в основном состоянии $0$ находится $N_0$ молекул, то число молекул $dN$, поглотивших фотоны и перешедших в возбужденное состояние за очень малый промежуток времени $dt$, будет равно
$$
dN=I\sigma_{01}N_0dt, \tag{1}
$$
где величина $\sigma_{01}$ называется сечением поглощения и определяется свойствами молекул.

$\textbf{Вынужденное излучение}$. Если молекула находится в возбужденном состоянии $1$, то под воздействием фотона с частотой $\nu_{01}$ она может перейти в основное состояние $0$ с испусканием еще одного фотона, который полностью идентичен первому и распространяется в том же направлении, имеет ту же энергию и поляризацию. Число таких переходов $dN$ за очень малый промежуток времени $dt$ описывается формулой, аналогичной формуле $(1)$
$$dN=I\sigma_{10}N_1dt, \tag{2}$$
где $N_1$ — число молекул, находящихся в возбужденном состоянии $1$ с энергией $E_1$, $\sigma_{10}$ — сечение вынужденного излучения.

$\textbf{Спонтанное излучение}$. Молекула, находящаяся в возбужденном состоянии, может самопроизвольно перейти в основное состояние с испусканием фотона. В отличие от вынужденного излучения, направление вылета и поляризация фотона случайны, а энергия может немного варьироваться, поэтому спонтанное излучение не приводит к усилению светового потока. Число спонтанных переходов $dN$ из возбужденного состояния $1$ в основное $0$ за очень малый промежуток времени $dt$ записывается как
$$dN=AN_1dt=\frac{1}{\tau}N_1dt. \tag{3}$$
где $N_1$ — по-прежнему число молекул, находящихся в возбужденном состоянии $1$ с энергией $E_1$, $A$ — вероятность перехода или коэффициент Эйнштейна, а обратная ей величина $\tau=A^{-1}$ называется временем жизни в возбужденном состоянии.
Для описания состояний молекулы удобно использовать не полное число молекул $N_k$, находящихся в состоянии $k$, а его отношение к общему числу молекул $N$
$$n_k=\frac{N_k}{N}, \tag{4}$$
Эта величина называются населенностью состояния. Для населенностей выполняется условие нормировки: сумма населенностей всех состояний молекул равна единице, то есть
$$n_0+n_1+n_2+\dots=1. \tag{5}$$
Если число молекул в некотором возбужденном состоянии превышает число молекул в основном состоянии, то такое состояние среды называется $\textit{инверсной населенностью}$, при этом вынужденное излучение может преобладать над поглощением, что приведет к возрастанию интенсивности светового потока, распространяющегося в такой среде. Это явление и используется в оптических квантовых генераторах света, называемых лазерами. Инверсная населенность создается с помощью внешнего источника энергии, называемого накачкой. В данной задаче рассматривается работа лазера с оптической накачкой, когда инверсная населенность создается под действием внешнего светового потока. В отличие от излучения накачки, световой поток лазера является монохроматическим, когерентным, поляризованным и узконаправленным.

Инверсная населенность: двухуровневая схема

Рассмотрим некоторую среду, которая находится в монохроматическом световом потоке накачки интенсивности $I_0$. Падающий световой поток приводит к переходам молекул только между двумя состояниями, основным $0$ и возбужденным $1$. Сечения поглощения $\sigma_{01}$ и вынужденного излучения $\sigma_{10}$ равны $\sigma_{10} =\sigma_{01}=\sigma$, а время жизни в
возбужденном состоянии равно $\tau$.

3.1  0,30 Запишите уравнение, описывающее изменение населенности $n_1$ возбужденного состояния со временем, то есть выразите производную $dn_1/dt$ через $n_1$, $I_0$, $\sigma$ и $\tau$.

3.2  0,30 Найдите населенность возбужденного состояния $\vec n_1$ и разность населенностей возбужденного и основного состояния $(\vec n_1-\vec n_0)$ в стационарном режиме в зависимости от интенсивности накачки $I_0$. Выразите ответы через параметр $I_0\sigma\tau$.

3.3  0,20 Возможно ли в этом случае усиление лазерного светового потока?

Инверсная населенность: трехуровневая схема

В возможных переходах принимают участие три состояния молекулы: основное $0$ и два возбужденных $1$, $2$. Под действием внешнего светового потока накачки $I_0$ молекула может перейти из основного состояния $0$ в первое возбужденное состояние $1$. Сечение поглощения этого перехода равно $\sigma$. В результате внутримолекулярной релаксации молекула, попавшая в состояние $1$, практически мгновенно переходит в более низкое энергетическое состояние $2$, время жизни в котором составляет $\tau$. В этом случае считайте, что вынужденное излучение полностью отсутствует.

3.4  0,20 Запишите уравнение, описывающее изменение населенности $n_2$ возбужденного состояния $2$ со временем.

3.5  0,20 Найдите населенность $\vec n_2$ возбужденного состояния $2$ и разность населенностей возбужденного и основного состояния $(\vec n_2-\vec n)$ в стационарном режиме в зависимости от интенсивности накачки $I_0$. Выразите ответы через параметр $I_0\sigma\tau$.

3.6  0,30 При каком минимальном значении параметра $I_0\sigma\tau$ возможно усиление лазерного излучения с частотой, равной частоте перехода $2 \rightarrow 0$?

Инверсная населенность: четырехуровневая схема

В возможных переходах принимают участие четыре состояния молекулы. Под действием светового потока накачки $I_0$ молекула может перейти из основного
состояния $0$ в первое возбужденное состояние $1$. Сечение поглощения этого перехода равно $\sigma$. В результате внутримолекулярной релаксации молекула, попавшая в состояние $1$, практически мгновенно переходит в более низкое энергетическое состояние $2$, время жизни в котором составляет $\tau$. Из этого состояния молекула переходит в промежуточное состояние $3$, причем этот переход происходит с излучением фотона. В этом случае также считайте, что вынужденное излучение полностью отсутствует. В результате внутримолекулярной релаксации молекула, попавшая в состояние $3$, практически мгновенно переходит в основное энергетическое состояние $0$.

3.7  0,50 При каком минимальном значении параметра $I_0\sigma\tau$ возможно усиление лазерного излучения с частотой, равной частоте перехода $2 \rightarrow 3$?

Резонатор

Четырехуровневая схема реализуется в растворах красителей. Красители — сложные молекулы, имеющие множество энергетических состояний. Поэтому возможные энергетические состояния группируются в полосы: основное состояние $S_0$ содержит практически непрерывный спектр подуровней, аналогично и первое возбужденное состояние
$S_1$. Таким образом, имеются две полосы возможных состояний. Поглощение света светового потока $I_0$ приводит к переходам из подуровней основного состояния $S_0$ в различные подуровни возбужденного состояния $S_1$. Переходы между подуровнями состояния $1$ происходят практически мгновенно, поэтому вынужденное излучение лазерного светового потока $I_1$ происходит на меньших частотах, а вынужденным излучением под действием светового потока накачки $I_0$ можно пренебречь. В описанном приближении достаточно знать населенность основного и возбужденного состояний. В качестве красителя используется родамин 6Ж, для которого: сечение поглощения в переходе $S_0 \rightarrow S$ $\sigma_{A}=3.90\cdot 10^{-16}~см^2$; сечение вынужденного излучения $S_1 \rightarrow S_0$ $\sigma_E=2.20\cdot 10^{-16}~см^2$; время жизни молекулы в состоянии $S_1$ равно $\tau=4.20\cdot 10^{-9}~с$.

Для генерации света кювету $1$ с раствором родамина 6Ж помещают между двумя параллельными зеркалами $2$ и $3$, образующими резонатор. Накачка раствора проводится однородным световым потоком $4$ интенсивности $I_0$, частота излучения которого соответствует максимуму поглощения раствора. Поток излучения накачки $4$ направляется перпендикулярно оси резонатора и полностью освещает всю кювету. Интенсивность этого потока, конечно, уменьшается при прохождении через раствор, однако, для проведения расчетов считайте величину $I_0$ постоянной во всем объеме резонатора, считая ее усредненной по этому объему. Лазерный световой поток $5$, генерируемый в резонаторе, распространяется вдоль оси резонатора, а его усиление происходит благодаря многократным отражениям от зеркал резонатора. Считайте, что зеркало $2$ является полностью отражающим, а второе зеркало $3$ — полупрозрачным с коэффициентом отражения $\rho$. Поглощением света в зеркалах, растворителе, рассеянием света и другими потерями можно пренебречь. Резонатор имеет следующие параметры: длина кюветы $l = 3.00~см$; концентрация родамина 6Ж $\gamma=1.30\cdot 10^{16}~см^{-3}$; коэффициент отражения полупрозрачного зеркала $\rho=0.90$; показатель преломления раствора родамина 6Ж $r =1.50$. Скорость света равна $c=3.00\cdot 10^{10}~см/с$.

Для упрощенного описания лазерного светового потока, распространяющего вдоль оси резонатора, будем рассматривать интенсивности, усредненные по длине резонатора. Обозначим среднюю интенсивность лазерного светового потока, распространяющегося к частично прозрачному зеркалу, как $I_G$, а интенсивность лазерного светового потока, распространяющегося в противоположном направлении, как $I_G^{'}$. Так коэффициент пропускания зеркала $3$ мал, то можно считать, что средние интенсивности этих потоков примерно равны $I_G \approx I_G^{'}$.

3.8  1,50 Пусть в резонаторе создан лазерный световой поток $I_G$. Покажите, что в отсутствии поглощения и вынужденного излучения света, изменение интенсивности лазерного потока с течением времени описывается уравнением
$$
\frac{dI_G}{dt}=-\frac{1}{T}I_G, \tag{6}
$$
где $T$ — так называемое время жизни фотона в резонаторе. Выразите параметр $T$ через параметры резонатора. Рассчитайте его численное значение.

3.9  1,50 Покажите, что в отсутствии потерь фотонов через зеркало $3$ интенсивность лазерного потока $I_G$ изменяется со временем в соответствии с уравнением
$$
\frac{dI_G}{dt}=KnI_G, \tag{7}
$$
где $n$ — населенность возбужденного состояния родамина 6Ж, $K$ — коэффициент усиления резонатора. Выразите коэффициент усиления резонатора $K$ через параметры резонатора и сечение вынужденного излучения родамина 6Ж $\sigma_E$. Рассчитайте численное значение этого параметра.

Стационарный режим генерации

В этой части будем считать, что интенсивность накачки постоянна и не зависит от времени. В стационарном режиме остаются постоянными и остальные величины: населенность возбужденного состояния $n$ и интенсивность генерации $I_G$. Также считайте, что населенность возбужденного состояния $n \ll 1$.

3.10  0,50 Запишите систему уравнений, описывающих изменение населенности возбужденного состояния $\frac{dn}{dt}$ и интенсивности лазерного потока в резонаторе $\frac{dI_G}{dt}$.

3.11  0,50 Получите формулу и рассчитайте численно минимальное (пороговое) значение населенности возбужденного состояния $n_{th}$, при которой начинается усиление (генерация) лазерного светового потока в резонаторе. Выразите это значение через параметры резонатора $K$, $T$.

3.12  1,00 Получите формулу и рассчитайте численно минимальное (пороговое) значение светового потока накачки $I_{0,th}$, при которой начинается усиление лазерного светового потока в резонаторе. Пусть длина волны светового потока накачки равна $\lambda= 520~нм$. Рассчитайте интенсивность накачки $I_E$ в энергетических единицах $Вт/см^2$.

3.13  2,00 Найдите зависимость лазерного светового потока на выходе из резонатора от интенсивности светового потока накачки $I_0$, выразив ее через отношение $\eta=I_0/I_{0,th}$, называемое превышением порога, и характеристики молекул. Постройте график зависимости светового потока на выходе из резонатора от $\eta$.

3.14  1,00 Найдите квантовый выход генерации $f=N_E/N_A$, то есть отношение числа вышедших за единицу времени из резонатора фотонов $N_E$ к числу поглощенных за ту же единицу времени фотонов $N_A$, как функцию параметра $\eta$.

Математическая подсказка для задач теоретического тура
Вам может понадобиться знание следующих интегралов:
$$\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|.$$
$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1},$$

где $n$ — целое число.