Часть 1. Изотермическая атмосфера

В атмосфере самый нижний приповерхностный слой имеет практически постоянную температуру, так как он нагревается от поверхности Земли. Поэтому примем в этой части, что температура атмосферы одинакова по всей ее высоте и равна $T_0 =293~К$, а давление воздуха у поверхности Земли составляет $p_0=1.013 \cdot 10^5~Па$. Считайте, что ускорение свободного падения $g=9.81~м/с^2$ не зависит от высоты над поверхностью Земли, так как толщина атмосферы много меньше радиуса Земли $R_E=6400~км$. Универсальная газовая постоянная равна $R=8.31~Дж/(моль \cdot К)$.

1.1  ^1.00 Найдите и вычислите массу $M$ атмосферы Земли.

1.2  ^1.00 Найдите и вычислите давление воздуха $p_H$ на высоте $H=1500~м$ над поверхностью Земли.

С физической точки зрения интересен вопрос о том, как быстро успевает прогреваться атмосфера при смене дня и ночи. Из наблюдений известна так называемая солнечная постоянная $\alpha=1367~Вт/м^2$, которая представляет собой суммарную мощность солнечного излучения в районе орбиты Земли, проходящего через единицу поверхности, ориентированной перпендикулярно его потоку.

1.3  ^0.60 Оцените количество теплоты $\delta Q$, необходимое для нагревания атмосферы на $\Delta T=1~К$.

1.4  ^0.60 Найдите и вычислите интервал времени $\tau$, который должно светить Солнце, чтобы сообщить Земле количество теплоты $\delta Q$.

Часть 2. Адиабатическая атмосфера

Реальная тропосфера не является изотермической и температура воздуха уменьшается с высотой. Благодаря постоянно протекающим конвективным процессам, тропосфера может считаться практически адиабатической. Пусть температура и давление воздуха у поверхности Земли составляют $T_0=293~К$ и $p_0=1.013\cdot 10^5~Па$ соответственно. По-прежнему считайте, что ускорение свободного падения $g=9.81~м/с^2$ не зависит от высоты над поверхностью Земли

2.1  ^1.20 Найдите и вычислите температуру воздуха $T_H$ на высоте $H=1500~м$ над поверхностью Земли.

2.2  ^0.40 Найдите и вычислите давление воздуха $p_H$ на высоте $H=1500~м$ над поверхностью Земли.

В построенной модели высота тропосферы Земли определяется достижением некоторой критической температуры, при которой начинают играть существенную роль другие физические процессы.

2.3  ^0.80 Оцените разницу высот $\Delta H_{atm}$ тропосферы Земли в дневное и ночное время, если колебание температуры у поверхности за это время составляет $\Delta T_{dn}=20~К$.

Альпинист начинает восхождение на достаточно высокую гору, у подножия которой температура и давление воздуха равны $T_0=293~К$ и $p_0=1.013 \cdot 10^5~Па$. На высоте $H=1500~м$ он решает сделать привал для того, чтобы вскипятить воду и обнаруживает, что она закипает быстрее обычного. Он открывает имеющийся при себе справочник по физике и находит, что при температуре $T_1=373~К$ давление насыщенного водяного пара равно $p_1=p_0=1.013 \cdot 10^5~Па$, а при температуре $T_2=365~К$ — $p_2=0.757\cdot 10^5~Па$.

2.4  ^0.60 Найдите и вычислите температуру кипения воды на высоте $H=1500~м$.

После возобновления подъема альпинист обнаруживает, что на некоторой высоте появляется снег и приходится использовать специальное оборудование.

2.5  ^0.80 Найдите и вычислите высоту $h_0$, на которой альпинист заметил появление снежного покрова на горе.

Альпинист вспомнил разговор с местными жителями перед восхождением, в котором ему сообщили, что снежный покров полностью исчезает с горы при температуре у подножия, превышающей $T=310~К$.

2.6  ^0.40 Найдите и вычислите высоту $H_0$ горы, на которую совершает восхождение альпинист.

Поднявшись еще выше по склону горы на некоторую высоту $H^{'}$, альпинист замечает появление тумана. Оглянувшись по сторонам, он отмечает, что облаков нет и ветер отсутствует. Альпинист знает, что молярная масса воды составляет $\mu_{H_2O}=18.0\cdot 10^{−3}~кг/моль$, а по прогнозу погоды относительная влажность воздуха у подножия горы составляла $\varphi= 0.25$. В справочнике по физике он находит формулу для давления насыщенных паров воды в интервале температур $T \in (250,300)~К$, которая имеет следующий вид
$$\ln\frac{p_{vap}}{p_{vap 0}}=a+b\ln\frac{T}{T_0},$$
где $p_{vap}$ — давление насыщенных паров при температуре $T$, $p_{vap 0}$ — давление насыщенных паров при температуре $T_0$, $a=3.63\cdot 10^{−2}$, $b=18.2$ — постоянные. При вычислениях считайте, что пар находится в термодинамическом равновесии с окружающим его воздухом.

2.7  ^2.00 Найдите и вычислите высоту $H^{'}$.

2.8  ^0.60 Найдите и вычислите минимальную влажность воздуха $\varphi_{\min}$ у подножья горы, при которой на ней еще будет наблюдаться туман.

Математическая подсказка
Вам может понадобится знание следующего интеграла: $\int\frac{dx}{ax+b}=\frac{1}{a}\ln|ax+b|$.