При решении задачи используйте следующие значения физических постоянных:
Лазеры — источники когерентного оптического излучения. Лазерное излучение формируется за счет того, что большое количество атомов, переведенных с помощью внешнего воздействия (накачки) в возбужденное состояние, излучают фотоны с одинаковой фазой и поляризацией. Для построения последовательной теории лазерного излучения нужно использовать квантовую механику, однако некоторые аспекты его работы можно понять и с помощью классической электродинамики.
Рассмотрим сначала излучение фотона единичным атомом. С точки зрения классической электродинамики атом можно рассматривать как дипольный излучатель. В этой модели с атомом связывают электрический диполь, образованный неподвижным положительно заряженным ядром атома с зарядом $+q$ и совершающим гармонические колебания около него отрицательным зарядом $-q$, расположенным в центре распределения зарядов электронного облака. При этом дипольный момент атома изменяется по закону $\vec{p}(t) = \vec{p}_m(t) \cos{(\omega t + \varphi)}$. Циклическая частота колебаний связана с энергией испускаемых фотонов соотношением Планка $E_{\gamma} = \hbar \omega$. В дальнейшем под частотой фотонов будем подразумевать их циклическую частоту. Мощность излучения классической системы с переменным дипольным моментом $\vec{P} (t)$ определяется формулой
$$W = \cfrac{2 k}{3 c^3} \langle (\cfrac{d^2 \vec{P}}{d t^2})^2 \rangle$$
где угловые скобки означают усреднение по периоду колебаний.
A1 1.00 Атом излучает свет с длиной волны $\lambda_0 = 300 \;нм$. Оцените в классической модели время высвечивания атома $\tau$ (то есть время, за которое он излучает энергию, равную энергии одного фотона). Это время совпадает по порядку величины с характерным временем, за которое атом излучает фотон. Все излучение создается одним электроном, находящимся на расстоянии порядка $a_0 = 0.1 \;нм$ от ядра. Выразите ответ через физические постоянные, $\lambda_0$ и $a_0$.
Допустим, что в некотором объеме кратковременным воздействием накачки переведены в возбужденное состояние $N$ атомов. Известно, что один атом излучает фотон с частотой $\omega$ за характерное время $\tau$.
Импульсы еще более малой длительности можно получить, уменьшая длительность уже сгенерированных лазерных импульсов. Длительность импульса $\Delta t$ и разброс частот входящих в него колебаний $\Delta \omega$ (спектральная ширина) связаны неравенством $\Delta \omega \Delta t \geq 2 \pi $. Лазерные импульсы, генерируемые в режиме сверхизлучения, уже имеют минимально возможную длительность при данном разбросе частот $\Delta t_0 \approx \frac{2 \pi}{\Delta \omega_0}$. Поэтому длительность импульса можно уменьшить в два этапа: сначала увеличить спектральную ширину импульса (не меняя длительности), а затем сжать импульс по времени.
Одним из самых популярных способов решения первой задачи является чирпирование импульсов (от англ. «chirp»). В основе этого метода лежит использование нелинейности среды, то есть зависимости показателя преломления среды $n$ от амплитуды колебаний напряженности электрического поля в волне $E_m$. Зависимость имеет вид $n = n_0 + n_2 E^2_{m}$, где $n_0$, $n_2$ – константы, зависящие от свойств вещества. Нелинейные эффекты малы, например в кварце при интенсивности света $I_{1} = 10^9 \; Вт/см^2$ показатель преломления увеличивается всего на $n_2 E^2_{m1} \approx 3.2 \cdot 10^{-7}$. Интенсивность электромагнитной волны в среде определяется формулой $I = \cfrac{\varepsilon_0 n_0 c}{2} E^2_m$
Рассмотрим импульс длительностью $\Delta t_0$ с малым разбросом частот $\Delta \omega_0 \approx \frac{2\pi}{\Delta t_0}$, средняя частота импульса $\omega_0$. На рисунке изображена примерная зависимость напряженности электрического поля от времени в таком импульсе. Скорость перемещения волновых максимумов на краях импульса одинакова, а в центральной части она уменьшается за счет эффектов нелинейности. Благодаря этому общая длительность импульса не меняется, частота в «задней» части импульса растет, а в «передней» — убывает. Такие импульсы и называют «чирпированными».
B2 2.00 Световой импульс с длиной волны в вакууме $\lambda_0 = 300 \; нм$ и максимальной интенсивностью $I_0 = 3 \cdot 10^9 \;Вт/см^2$ распространяется вдоль оси кварцевого оптоволокна. Огибающую зависимости квадрата напряженности электрического поля волны от времени $E^2_m (t)$ считайте параболой. Определите длину $s$ оптоволокна, при прохождении которого спектральная ширина импульса возрастет в $K = 200$ раз. Ответ выразите через $K$, $\lambda_0$, $n_2$, $E_m,$ вычислите также значение (в метрах, с точностью до целого значения).
Для сжатия чирпированного импульса по времени можно пропустить его через среду, в которой групповая скорость волны зависит от частоты. В окрестности средней частоты $\omega_0$ можно для рассматриваемой среды представить зависимость волнового числа от частоты в виде $k(\omega) = k_0 + \beta_1 (\omega - \omega_0) + \frac{\beta_2}{2} (\omega - \omega_0)^2$. Для используемого вещества $\beta_1 = 5 \; нс/м$, $|\beta_2| = 20 \; фс^2/мм$.
B4 1.00 Найдите расстояние, которое должен пройти в такой среде импульс из В2, имевший длительность $\Delta t_0 = 10 \; пс$ и начальную спектральную ширину $\Delta \omega_0 \approx \frac{2 \pi}{\Delta t_0}$ (до чирпирования), чтобы после чирпирования с уширением спектра в $K = 200$ раз достичь минимально возможной длительности. В ответе запишите формулу через физические постоянные, $K$, $\Delta t_0$, $\beta_1$ и $\beta_2$, а также укажите числовое значение в метрах, с точностью до целого значения.
B5 1.50 Нелинейность среды приводит к исчезновению дифракционной расходимости у пучка света достаточно большой интенсивности. Оцените минимальную мощность светового импульса $W_c$, при которой он не испытывает дифракционной расходимости, то есть распространяется внутри узкого цилиндрического канала постоянного радиуса. В ответе запишите формулу для $W_c$ через физические постоянные, частоту $\omega_0$, $n_0$ и $n_2$. Распределение интенсивности по сечению канала считайте примерно равномерным. Найдите численное значение мощности для импульса с длиной волны в вакууме $\lambda_0 = 300 \; нм$, распространяющегося в кварце. Коэффициент $n_0 = 1.47$.
В астрономии наблюдения светящихся объектов производятся в течении длительного времени. Это позволяет изучать изменение спектров их излучения. С помощью спектральных измерений можно обнаружить планеты, вращающиеся вокруг других звезд — «экзопланеты». Экзопланеты не имеют собственного излучения, поэтому приходится изучать спектр излучения их звезд. Если для экзопланеты направление на Землю лежит практически в плоскости ее орбиты, такую экзопланету можно найти по снижению яркости звезды в моменты прохождения экзопланеты по диску звезды. Однако если плоскость орбиты наклонена по отношению к направлению на Землю, такой метод не годится.
С2 1.00 Пусть экзопланета массы $m$ обращается вокруг звезды массы $M$ по круговой орбите радиуса $R$. Период обращения равен $T$ , плоскость орбиты этой планеты составляет угол $\theta$ с направлением на Землю. Оцените относительную точность измерения частот, необходимую для обнаружения предложенным Вами методом такой экзопланеты. В ответе выразите относительную точность $\Delta \omega / \omega$, с которой нужно измерять частоту, через фундаментальные постоянные, $R$, $T$ , $\theta$, $m$ и $M$.
C3 0.25 Пусть масса экзопланеты из ее звезды равны массе Земли и Солнца соответственно, а радиус круговой орбиты совпадает с расстоянием от Земли до Солнца ($R \approx 1.5 \cdot 10^{11} \; м$), угол $\theta = 60^{\circ}$, а масса Солнца в $330000$ раз больше массы Земли, период обращения Земли вокруг Солнца – $1$ год. Укажите целое число $n$, такое, что $10^{-n}$ – относительная точность определения частоты, необходимая для вашего метода. Использование сверхкоротких (фемтосекундных) лазерных импульсов позволяет измерять частоты в оптическом диапозоне ($10^{15} \; Гц$) с точностью порядка $10 \; Гц$. Достаточно ли такой точности, чтобы зарегистрировать экзопланету?