Logo
Logo

Действие магнитного поля на сверхпроводники

Электрон — элементарная частица, у которой есть электрический заряд и внутренний магнитный момент, связанный с ее спином (моментом импульса). Из-за кулоновского взаимодействия электроны в вакууме отталкиваются. Однако, в некоторых металлах суммарная сила, действующая на электроны, может стать силой притяжения из-за колебаний решетки. Когда температура металла достаточно низкая (ниже некоторой критической температуры $T_c$), электроны с противоположными импульсами и противоположными спинами могу образовывать куперовские пары. Образуя куперовскую пару, каждый из электронов уменьшает свою энергию на величину $\Delta$ по сравнению с электроном, свободно движущемся в металле. Энергия свободно движущегося электрона равна $p^2/2m_e$, где $p$ — импульс электрона, а $m_e$ — его масса. Куперовские пары могут перемещаться без сопротивления, и металл при этом становится сверхпроводником.
Однако, даже при температурах ниже $T_c$ сверхпроводимость можно разрушить, если к сверхпроводнику приложить внешнее магнитное поле. В этой задаче мы исследуем разрушение куперовских пар посредством двух эффектов.
Первый эффект — парамагнитный. В нем электроны вместо создания куперовской пары с противоположными спинами, уменьшают свою энергию, выстраивая свой магнитный момент параллельно магнитному полю.
Второй эффект — диамагнитный. В нем магнитное поле изменяет орбитальное движение куперовских пар и увеличивает их энергию. Когда приложенное магнитное поле превысит некоторое критическое значение $B_c$, увеличение энергии становится больше чем $2 \Delta$. В результате, электронам становится невыгодно образовывать куперовские пары.
Недавно был открыт новый тип сверхпроводников — сверхпроводники Изинга. Они не утрачивают свойство сверхпроводимости даже когда к ним приложено поле в 60 Тесла. А это сравнимо с максимальной силой полей, которые создаются сегодня в лабораториях. Мы исследуем, как сверхпроводники Изинга могут преодолеть парамагнитный и диамагнитный эффекты.

Часть А. Электрон в магнитном поле

Рассмотрим виток радиуса $r$, полный заряд которого $-e$, а масса — $m$. Масса и заряд распределены по витку равномерно (рис. 1).

A1  1,00 Чему равен момент импульса $\vec{L}$ этого витка (величина и направление), если он вращается с угловой скоростью $\vec{\omega}$?

A2  1,00 Величина магнитного момента определяется как $|\vec{M}| = I A$, где $I$ — это ток, а $A$ — площадь витка. Найдите соотношение между магнитным моментом $\vec{M}$ и моментом импульса $\vec{L}$ витка.

Пусть $\vec{n}$ — нормаль к витку, и она составляет угол $\theta$ с приложенным магнитным полем (рис. 2).

A3  1,00 Рассмотрим кольцо, описанное в пункте А1, помещенное в однородное магнитное поле индукцией $B_z$, которое направлено вдоль оси $z$. Чему равна потенциальная энергия такой системы? Потенциальная энергия равна нулю при $\theta = \pi/2$.

A4  0,50 У электрона есть собственный момент импульса (спин). Его величина в определенном направлении равна $\hbar/2$, где $\hbar = h/2\pi$, а $h$ — постоянная Планка. \newline
Электроны помещены в магнитное поле. Чему равна потенциальная энергия электронов $U_{\text{up}}$ и $U_{\text{down}}$, чьи спины параллельны полю и антипараллельны, соответственно. Выразите свой ответ через магнетон Бора
\begin{equation*}
\mu_B = \frac{e \hbar}{2 m_e} = 5.788 \cdot 10^{-5}~\text{эВ}\cdot\text{Т}^{-1}
\end{equation*}и индукцию поля $B$.

A5  0,50 Из квантовой механики известно, что потенциальные энергии $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$ в два раза больше значений $U_{\text{up}}$ и $U_{\text{down}}$, найденных в пункте А4. Пусть приложено магнитное поле индукцией 1 Тесла. Чему тогда равны потенциальные энергии электрона $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$, чей спин параллелен и антипараллелен приложенному полю соответственно? В дальнейшем в задаче используйте в своих вычислениях выражения для $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$.

Часть B. Парамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары

В этой части задачи мы исследуем парамагнитный эффект приложенного внешнего магнитного поля на куперовские пары (рис. 3).

Теоретические расчеты показывают, что в сверхпроводниках два электрона могут образовывать куперовскую пару, при этом общая энергия системы уменьшается. Энергия куперовской пары может быть записана как
\begin{equation*}
\frac{p_1^2}{2m_e} + \frac{p_2^2}{2 m_e} - 2 \Delta,
\end{equation*}где первые два члена соответствуют кинетической энергии куперовской пары, а последний — уменьшению энергии из-за создания куперовской пары. Здесь $\Delta$ — положительная постоянная.

B1  0,50 Считайте, что магнитное поле действует только на спин электронов, а не на их орбитальное движение. Чему равна энергия $E_S$ куперовской пары, помещенной в однородное магнитное поле $\vec{B} = (B_x, 0, 0)$? Напомним, что у электронов, образующих куперовскую пару, противоположные спины.

B2  0,50 В нормальном (не сверхпроводящем) состоянии электроны не образуют куперовские пары. Поле $\vec{B} = (B_x, 0, 0)$ однородно и направлено вдоль плоскости в направлении оси $x$. Чему равна минимальная энергия двух электронов $E_N$ в этом поле? Используйте в своих вычислениях $\tilde{U}_{\text{up}}$ и $\tilde{U}_{\text{down}}$ из пункта A5. Действием магнитного поля на орбитальное движение электронов можно пренебречь.

B3  0,50 Когда температура равна нулю, система \textbf{займет} состояние с минимальной энергией. Сверхпроводимость исчезает, если индукция поля превысит критическое значение $B_P$ (т.е. при $|\vec{B}| > B_P$). Чему равно это критическое значение $B_P$? Выразите ответ через $\Delta$.

Часть С. Диамагнитный эффект магнитного поля на куперовские пары

В этой части задачи можно пренебречь действием магнитного поля на спины электронов. Мы рассмотрим действие внешнего магнитного поля на орбитальное движение куперовских пар.
Когда температура равна нулю, а сверхпроводник находится в магнитном поле $\vec{B} = (0,0,B_z)$, то разность энергий между сверхпроводящим состоянием и нормальным состоянием может быть записана
\begin{equation*}
F = \int_{-\infty}^{\infty} \psi \left( - \alpha \psi - \frac{\hbar^2}{4 m_e} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + \frac{e^2 B_z^2 x^2}{m_e} \psi \right) dx
\end{equation*}
Здесь $\psi(x)$ — функция, зависящая от $x$ и не зависящая от $y$. $\psi(x)^2$ задает вероятность найти куперовскую пару вблизи положения $x$. Здесь $\alpha$ — постоянная, и она связана с уменьшением энергии при образовании куперовской пары. Второй и третий члены в $F$ связаны с кинетической энергией куперовской пары, учитывая действие магнитного поля. Когда температура равна нулю, система минимизирует свою энергию $F$. В этом случае функция $\psi(x)$ может быть записана в виде
\begin{equation*}
\psi(x) = \left( \frac{2\lambda}{\pi} \right)^{1/4} e^{-\lambda x^2},
\end{equation*}где $\lambda > 0$.

C1  1,50 Найдите $\lambda$ и выразите ответ через $e$, $B_z$ и $\hbar$.
Примечание:
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{- a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}},
\end{equation*}
\begin{equation*}
\int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{- a x^2} dx = \frac{1}{2 a} \sqrt{\frac{\pi}{a}},
\end{equation*}
где $a$ — постоянная.

C2  1,00 Найдите критическое значение индукции поля $B_z$, когда сверхпроводящее состояние перестает быть энергетически выгодным. Выразите ответ через $\alpha$.

Часть D. Сверхпроводники Изинга

В веществах со спин-орбитальным взаимодействием (спин-спиновым взаимодействием можно пренебречь) на электрон, обладающий импульсом $\vec{p}$, действует внутреннее магнитное поле $B_{1\perp} = (0,0,-B_z)$. С другой стороны, на электрон, обладающий импульсом $-\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\perp} = (0, 0, B_z)$. Эти внутренние магнитные поля действуют только на спины электронов (рис. 4). Такие сверхпроводники называются сверхпроводниками Изинга.

Рис. 4: Два электрона образуют куперовскую пару. На электрон 1, обладающий импульсом $\vec{p}$, действует магнитное поле $B_{1\perp} = (0,0,-B_z)$, а на электрон 2, обладающий импульсом $-\vec{p}$, действует противоположно направленное магнитное поле $B_{2\perp} = (0, 0, B_z)$. Внутренние магнитные поля обозначены штриховыми стрелками

D1  0,50 Чему равна энергия $E_I$ куперовской пары в сверхпроводнике Изинга?

D2  1,00 К веществу, где есть спин-орбитальное взаимодействие, вдоль плоскости приложено однородное магнитное поле $\vec{B}_{\parallel} = (B_x,0,0)$. Чему при этом равна энергия $E_{\parallel}$ двух электронов? (Внутренние магнитные поля по-прежнему действуют и направлены перпендикулярно $\vec{B}_{\parallel}$. Также можно пренебречь действием поля, направленного вдоль плоскости, на орбитальное движение куперовских пар.)

D3  0,50 Чему равно критическое значение индукции $B_I$, когда при $|\vec{B}_{\parallel}| > B_I$, $E_{\parallel} < E_I$?