Разведывательный космический корабль развитой цивилизации бороздит просторы Вселенной. В этой задаче Вам предстоит рассмотреть несколько ситуаций этого межзвездного путешествия с физической точки зрения. Во всех численных расчетах считайте гравитационную постоянную известной и равной $G=6.672 \times 10^{−11}~м^3/(кг \cdot с^2)$.

1. Планеты диковинных форм

На некотором расстоянии от корабля капитан обнаружил первую планету, которая имела странную форму параллелепипеда с квадратным основанием $a$ и очень малой толщиной $h \ll a$. Капитан отдал приказ следовать на планету по курсу, показанному на рисунке.

После выключения двигателей обнаружилось, что ускорение свободного падения корабля $g$, сообщаемое ему планетой на расстояниях много больших $h$, пропорционально телесному углу $\Omega$, под которым планета видна с корабля, то есть: $$g=a\Omega.$$

Высадившись на поверхность и взяв пробы грунта, ученые сообщили капитану, что планета состоит из однородного материала плотности $\rho_1=3000~кг/м^3$, а ускорение свободного падения вблизи геометрического центра поверхности практически постоянно и равно $g_1=9.81 \times 10^{−2}~м/с^2$.

1.1  ^0.70 Найдите и рассчитайте толщину планеты $h$.

1.2  ^0.50 Найдите и рассчитайте коэффициент $\alpha$.

Покинув первую планету, капитан и его команда встретили еще более экзотическую планету, которая по форме представляла собой правильную пирамиду, с квадратным основанием со стороной $a=10000~км$ и высотой $\frac{a}{2}$.

1.3  ^0.70 Найдите и рассчитайте ускорение свободного падения $g_2$, измеренное на вершине однородной пирамидальной планеты, если ее плотность равна $\rho_2=4500~кг/м^3$.

Космический корабль покинул пирамидальную планету с ее вершины, стартовав со второй космической скоростью $v_1=3.45~км/с$. Следующей на пути встретилась планета, имеющая форму идеального куба со стороной $a$. Проведя измерения, капитан и его команда выяснили, что плотность кубической планеты равна $\rho_3=5000~кг/м^3$.

1.4  ^2.00 Найдите и рассчитайте вторую космическую скорость $v_2$ при старте корабля с одной из вершин кубической планеты.

2. Пылевое облако

На пути корабля встречается очень большое массивное пылевое облако радиуса $R=1.50 \times 10^7~км$ c однородной плотностью $\rho_4=50.0~кг/м^3$. Скорость корабля на большом расстоянии от облака равна $v_{\infty}=100~км/с$, а прицельное расстояние до центра равно $b=1.50 \times 10^8~км$. Двигатель корабля выключен.

2.1  ^2.50 Найдите и рассчитайте координату входа корабля в пылевое облако, характеризуемую углом $\theta$.

2.2  ^2.00 Найдите и рассчитайте минимальное расстояние $r_{\min}$, на котором корабль пролетит от центра облака. Сопротивлением частиц облака движению корабля можно пренебречь.

Определив таким образом, что избежать столкновения с облаком невозможно, капитан корабля включает двигатель, изменяя скорость $v_{\infty}$.

2.3  ^1.00 Найдите и рассчитайте минимальную скорость $v_{\infty, \min}$, при которой корабль минует облако.

Успешно миновав препятствие, капитан и его команда обнаружили, что частицы пылевого облака содержат ценные элементы.

2.4  ^0.60 Найдите минимальную работу $A$, которую необходимо совершить, чтобы постепенно доставить все пылевые частицы на очень удаленный перерабатывающий завод.