Logo
Logo

Приключения поршня

В открытом цилиндрическом сосуде высотой $H=30.0~см$ и
площадью поперечного сечения $S=50.0~см^2$ находится атмосферный воздух при нормальных условиях, то есть при атмосферном давлении $p_0=1.01\times 10^5~Па$ и температуре $T_0=273~К$.
В сосуд осторожно вставляется сверху тонкий тяжелый поршень массы $M=50.0~кг$. Стенки сосуда и поршень изготовлены из материала, который очень плохо проводит тепло. Считайте, что воздух представляет собой идеальный двухатомный газ со средней молярной массой $\mu=29.0~г/моль$, ускорение свободного падения равно $g=9.80~м/с^2$, а универсальная газовая постоянная равна $R=8.31~Дж/(моль\cdot К)$. Теплоемкостью поршня и сосуда, а также трением поршня о стенки полностью пренебрегайте.

Поршень освобождают. Процесс перехода к окончательному равновесию осуществляется в две стадии. На первой стадии поршень совершает колебания. При этом газовые процессы нельзя считать равновесными. Вследствие неравновесности колебания поршня являются затухающими, т.е. механическая энергия рассеивается (диссипирует). Считайте, что половина рассеянной энергии передается газу в сосуде, а половина — в атмосферу. На этой стадии также можно пренебречь теплопроводностью сосуда и поршня. После прекращения колебаний поршень останавливается на высоте $H_1$.
Вторая стадия является медленной — в течение некоторого промежутка времени поршень перемещается и окончательно останавливается на высоте $H_2$.

2.1  0,50 Чему равно давление воздуха $p_1$ в сосуде в конце первой стадии? Ответ выразите через атмосферное давление $p_0$, показатель адиабаты $\gamma$ и параметр $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $p_1$.

2.2  1,50 Чему равна температура воздуха $T_1$ в конце первой стадии? Ответ выразите через $T_0$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $T_1$.

2.3  0,50 Найдите высоту $H_1$. Ответ выразите через $H$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $H_1$.

2.4  0,50 Чему равно давление воздуха $p_2$ в сосуде в конце второй стадии? Ответ выразите через $p_0$ и $\alpha=Mg/(p_0S)$. Найдите численное значение $p_2$.

2.5  0,50 Чему равна температура воздуха $T_2$ в конце второй стадии?

2.6  0,50 Найдите высоту $H_2$. Ответ выразите через $H$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $H_2$.

2.7  2,00 Найдите циклическую частоту $\omega$ малых колебаний поршня около положения равновесия $H_2$, считая процесс квазистатическим и адиабатическим. Ответ выразите через $g$, $H$, $\gamma$ и $\alpha=Mg/p_0S$. Найдите численное значение $\omega$.

По окончании второй стадии в дне сосуда проделали множество отверстий суммарной площадью $S_0=5.00\times 10^{-4}~см^2$, при этом размер каждого отверстия много меньше длины свободного пробега молекул. Спустя некоторое время поршень начинает двигаться с некоторой постоянной скоростью $u$.

Известно, что среднее число молекул $\overline{N}$, попадающих на единицу площади поверхности в единицу времени равно:
$$\overline{N}=\frac{1}{4}n\overline{v}, \tag{1}$$
где $\overline{v}=\sqrt{8RT/\pi\mu}$ — так называемая средняя тепловая скорость молекул, $R$ — универсальная газовая постоянная. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, попадающих в отверстия, равна:
$$\overline{W}=2k_BT, \tag{2}$$
где $k_B$ — постоянная Больцмана.

Считая поток тепла через стенки и поршень пренебрежимо малым, ответьте на следующие вопросы:

2.8  1,00 Установившееся давление воздуха под поршнем имеет вид $p_3=Af(\alpha)$, где $A$ — некоторая постоянная, зависящая от $p_0$ , а $f(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $A$ и $f(\alpha)$. Найдите численное значение $p_3$.

2.9  2,00 Установившаяся скорость поршня имеет вид $u=Bg(\alpha)$, где $B$ — некоторая постоянная, зависящая от $d$, $S$, $R$, $T_0$ и $\mu$, а $g(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $B$ и $g(\alpha)$. Найдите численное значение $u$.

2.10  1,00 Установившаяся температура газа под поршнем имеет вид $T_3=Ch(\alpha)$, где $C$ — некоторая постоянная, зависящая от $T_0$, а $h(\alpha)$ — некоторая функция от $\alpha$. Найдите $C$ и $h(\alpha)$. Найдите численное значение $T_3$.