В этой задаче не следует учитывать конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия.

Часть 1. Магнитная
1.1 Теоретическое введение

1.1.1  ^1.00

Покажите, что магнитное поле $B_z$ на оси диполя на больших расстояниях определяется формулой
$$B_z=b\frac{p_m}{z^{\beta}},$$
где $z$ — координата, отсчитываемая вдоль оси диполя от его центра. Найдите значения параметров $b$ и $\beta$ в этой формуле.

1.1.2  ^1.00

Пусть виток с током (магнитный диполь) с магнитным моментом $p_m$ находится в неоднородном осесимметричном поле, индукция которого на оси $z$ зависит от координаты $z$ по закону $B_z(z)$. Ось диполя совпадает с осью симметрии поля. Покажите, что сила, действующая на диполь со стороны магнитного поля, определяется формулой
$$F_z=-p_m\frac{dB_z}{dz}.$$

1.2 Колебания магнита

Цилиндрический магнит массы $m$, имеющий магнитный момент $p_m$, прикреплен к пружине жесткостью $k$ и способен совершать колебания вдоль горизонтальной оси, направленной вдоль магнитного момента.

1.2.1  ^0.25 Найдите частоту собственных колебаний магнита $\omega_0$ в отсутствие всех внешних полей.

На расстоянии $z$ от положения равновесия магнита закрепляют небольшой металлический диск так, что его ось совпадает с осью магнита. Радиус диска $R$, его толщина $h$ $(h \ll R \ll z)$, удельное электрическое сопротивление материала диска равно $\rho$, магнитную проницаемость считайте равной $\mu=1$. Магнит выводят из положения равновесия, и он начинает совершать малые колебания, описываемые некоторой функцией $x(t)$, причем $x \ll
z$.

1.2.2  ^2.00 Найдите силу $F(x,v)$, действующую со стороны диска на магнит, как функцию его координаты $x$ и скорости $v$. Запишите уравнение движения магнита.

1.2.3  ^1.00 Найдите относительное изменение частоты колебаний магнита $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска.

1.2.4  ^0.25 Считая затухание колебаний слабыми, найдите характерное время затухания колебаний шарика.

1.2.5  ^1.00 Покажите, что потери механической энергии магнита равны количеству теплоты, выделившемуся в диске за то же время.

Математическая подсказка
Уравнение затухающих колебаний
$$x^{"}+2\beta x^{\prime}+\omega^2_0x=0$$
имеет решение

$$x(t)=A\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)\cos(\omega t+\varphi),$$
где $\omega=\sqrt{\omega^2_0-\beta^2}$ — частота затухающих колебаний, $\tau=1/\beta$ — характерное время затухания, параметры $A$, $\varphi$ определяются начальными условиями.

При $x\ll 1$ можно приближённо считать, что $(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x$.

Часть 2. Электрическая
2.1 Теоретическое введение

2.1.1  ^1.00 Напряженность электрического поля, создаваемого диполем на его оси на расстоянии $z \gg l$, определяется формулой
$$E=a\frac{p_e}{z^{\alpha}}.$$
Определите параметры $a$, $\alpha$ в этой формуле.

2.2 Колебания заряженного шарика

Маленький шарик массы $m$, несущий электрический заряд $q$ прикреплен к непроводящей пружине жесткости $k$ и может совершать колебания вдоль горизонтальной оси $x$. На расстоянии $z$ от положения равновесия шарика закрепляют небольшой металлический идеально проводящий диск так, что его ось совпадает с осью $x$. Радиус диска $R$, его толщина $h$ $(H \ll R \ll z)$.

2.2.1  ^0.75 Найдите, насколько сместится положение равновесия шарика из-за влияния диска.

2.2.2  ^0.75 Найдите относительное изменение частоты колебаний шарика $\Delta \omega/\omega_0$ из-за влияния диска.

Пусть теперь удельное электрическое сопротивление материала диска равно $\rho$.

2.2.3  ^1.50 Получите уравнение, описывающее изменение во времени индуцированного дипольного момента диска (т.е. связывающее дипольный момент диска $p$ и скорость его изменения во времени $dp/dt$).

2.2.4  ^0.25 Считая диск конденсатором, пластины которого соединены резистором, найдите характерное время такой $RC$-цепочки. Ответ выразите через удельное сопротивление $\rho$ материала диска.

Далее будем считать, что характерное время, полученное в пункте 2.2.4, много меньше периода колебаний шарика.

2.2.5  ^0.50 Запишите следующее из этого условия соотношение между $\omega$ и $\rho$.

Так как при идеальной проводимости диска колебания шарика будут незатухающими, при малом удельном сопротивлении материала диска затухание колебаний также должно быть малым, и такие колебания можно приближённо считать гармоническими

2.2.6  ^2.00 Получите в этом приближении из уравнения, полученного в пункте 2.2.3, выражение дипольного момента диска $p$ через координату шарика $x$ и его скорость $v$.

2.2.7  ^1.50 Найдите выражение для силы, действующей на шарик со стороны диска. Запишите уравнение движения шарика.

2.2.8  ^0.25 Найдите характерное время затухания колебаний шарика.

2.2.9  ^1.00 Покажите, что потери механической энергии шарика равны количеству теплоты, выделившемуся в диске то же время.