Logo
Logo

Ядерная капля

В этой задаче рассматриваются основные характеристики и условия устойчивости атомных ядер. Пусть атомное ядро содержит $A$ нуклонов ($A$ — атомный вес элемента), а именно $Z$ протонов ($Z$ — порядковый номер в таблице элементов) и $N=A-Z$ нейтронов. При этом выражение для полной энергии ядра записывается в виде
$$E=(Zm_p+Nm_n)c^2+E_p(A,Z)=Mc^2, \tag{1}$$
где $M$ — масса ядра, $m_p$ — масса свободного протона, $m_n$ — масса свободного нейтрона, $c$ — скорость света, а $E_p$ — потенциальная энергия взаимодействия нуклонов в ядре.
Потенциальная энергия взаимодействия нуклонов может быть описана следующей полуэмпирической формулой Вайцзеккера (Weizsäcker)
$$E_p(A,Z)=-a_1A+a_2A^{2/3}+a_3\frac{Z^2}{A^{1/3}}+a+4\frac{(A/2-Z)^2}{A}, \tag{2}$$
где $a_1=15.8~МэВ$, $a_2=16.8~МэВ$, $a_3=0.72~МэВ$, $a_4=23.5~МэВ$.
Полуэмпирическая формула Вайцзеккера соответствует одной из простейших моделей атомного ядра, так называемой модели сферической жидкой капли, которая основывается на аналогии между ядром и каплей обычной жидкости. При этом масса и заряд ядра считаются равномерно распределенными внутри шара некоторого радиуса, а сама нуклонная жидкость характеризуется некоторым параметром $\sigma$, являющимся аналогом коэффициента поверхностного натяжения жидкости.

В формуле для потенциальной энергии $E_p$ учитывались следующие вклады: 

  • поверхностная энергия, учитывающая поверхностное натяжение ядерной материи в модели жидкой капли; 
     
  • энергию кулоновского отталкивания протонов, входящих в ядро; 
  • обменная энергия взаимодействия, отражающая тенденцию к стабильности ядер с $N=Z$; 
  • прямая зависимость от числа нуклонов $A$ вследствие действия ядерных сил. 

Также в выводе этой полуэмпирической формулы Вайцзеккер использовал экспериментально установленную зависимость радиуса атомного ядра от числа нуклонов
$$R(A)=R_0A^{1/3}, \tag{3}$$
где $R_0$ — некоторая константа.
Основываясь на всем вышеизложенном, дайте ответы на следующие вопросы:

3.1  2.00 Найдите электростатическую энергию $E_C$ шара радиуса $R$, равномерно заряженного по объёму зарядом $Q$. Ответ выразите через заряд $Q$, диэлектрическую постоянную $\varepsilon_0$ и радиус шара $R$.

3.2  1.00 Найдите численное значение коэффициента $R_0$ в формуле $(3)$.

3.3  1.00 Найдите численное значение плотности ядерного вещества $\rho_m$.

3.4  1.00 Найдите численное значение коэффициента поверхностного натяжения $\sigma$ нуклонной жидкости.

Допустим теперь, что ядро делится на две части с атомными весами $kA$ и $(1-k)A$, где $0< k < 1$. Можно считать, что и заряд ядра, и число нейтронов между осколками распределяются также как и атомный вес.

3.5  2.00 Деление ядра становится энергетически выгодным при выполнении условия $Z^2/A > f(k)$. Найдите выражение для функции $f(k)$ и постройте ее схематический график.

3.6  0.50 С точностью до двух значащих цифр найдите предельное значение $(Z^2/A)_0$, при котором самопроизвольное деление еще теоретически возможно.

При выполнении условия из п. 3.5 ядро может существовать достаточно долго. Например, период полураспада ядра урана-235 равен $713$ миллионов лет. Следовательно, мгновенному делению ядер препятствует некоторый энергетический барьер, который исчезает при некотором критическом значении $(Z^2/A)_{crtitcal}$. В действительности, ядро начнет делиться только при значительном отклонении его формы от сферической.
Для простоты примем, что сферическое ядро испытывает такие деформации, при которых его поверхность становится поверхностью вытянутого эллипсоида вращения, который в декартовых координатах описывается уравнением
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}=1, \tag{4}$$
где $a$ — малая, а $b$ — большая полуоси эллипсоида соответственно.

Объем вытянутого эллипсоида вращения определяется выражением
$$V=\frac{4}{3}\pi a^2 b, \tag{5}$$
а площадь его поверхности может быть вычислена по формуле
$$S=2\pi a\left(a+\frac{b^2}{\sqrt{b^2-a^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{b}\right)\right). \tag{6}$$
Пусть сферическое ядро испытывает такую деформацию, что $b=R(1+\varepsilon)$ и $a=R(1-\lambda)$, причем $\varepsilon$, $\lambda \ll 1$, а $R$ — начальный радиус ядерной капли.

3.7  0.50 Найдите соотношение между $\varepsilon$ и $\lambda$.

Расчеты показывают, что энергия электростатического взаимодействия протонов деформированного ядра составляет приблизительно $E_C^{deformed}=E_C\left(1-\frac{1}{6}\varepsilon(\varepsilon+\lambda)\right)$.

3.8  2.00 Получите выражение и найдите численное значение $(Z^2/A)_{crtitcal}$.

Известны следующие физические константы: 

Элементарный заряд $\quad e=1.609\times 10^{-19}~Кл$ 

Диэлектрическая постоянная $\quad \varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}~Ф/м$ 

Масса нуклона (протона или нейтрона) $\quad m_p\approx m_n \approx m=1.76\times 10^{-27}~кг$ 

$1~еВ=e\times 1~В=1.609\times 10^{-19}~Дж$

При решении данных задач вы можете использовать формулы: 

$$\arcsin(x)\approx x, \text{ при } |x| \ll 1.$$

$$(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2, \text{ при } |x| \ll 1.$$