Классическая ракета

Пусть ракета имеет начальную массу $m_0$, а скорость истечения топлива относительно ракеты постоянна и равна $u$. Считайте пока, что в начальный момент времени ракета покоится в лабораторной системе отсчета и внешние силы отсутствуют.

1.  ^0.50 Найдите зависимость скорости ракеты $v$ от ее массы $m$. Эта формула называется формулой Циолковского. Ответ выразите через $m$, $m_0$, $u$.

2.  ^0.50 Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до первой космической скорости. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом, если $u=5.00~км/с$, ускорение свободного падения $g=9.80~м/с^2$, радиус Земли $R=6400~км$.

Пусть ракета движется в поле тяжести Земли, ускорение свободного падения $g$ которого будем считать постоянным, а расход топлива $\mu(t)=-dm(t)/dt$ может зависеть от времени.

3.  ^0.75 Запишите уравнение движения ракеты в гравитационном поле Земли. Это уравнение называется уравнением Мещерского. Ответ выразите через $m$, $v$, $u$, $g$, $\mu$.

Далее считайте, что скорость истечения топлива $u$ направлена вдоль ускорения свободного падения $g$, а начальная скорость ракеты равна нулю.

4.  ^0.75 Найдите, как расход топлива $\mu_{st}(t)$ должен зависеть от времени $t$, чтобы ракета висела на одной высоте неподвижно. Ответ выразите через $m_0$, $u$, $g$, $t$.

Пусть теперь расход топлива постоянен во времени и равен $\mu$, причем всегда $\mu > \mu_{st}(t)$.

5.  ^2.00 Тогда зависимость скорости ракеты $v(t)$ от времени $t$ может быть представлена в виде
$$v(t)=A_1t+A_2\ln(1+A_3t),$$
где $A_1$, $A_2$, $A_3$ — некоторые постоянные.
Найдите $A_1$, $A_2$, $A_3$ и выразите их через $m_0$, $u$, $g$, $\mu$.

6.  ^1.00 Пусть начальная масса ракеты равна $m_0$, а конечная масса — $m$. Найдите максимальную высоту $H_{\max}$, которую может достигнуть ракета и соответствующий расход топлива $\mu_{opt}$. Ответ выразите через $m_0$, $m$, $u$, $g$.

Релятивистская ракета

В предыдущей части считалось, что ракета движется с нерелятивистской скоростью. Для осуществления межзвездных путешествий необходимо разгонять ракеты до скоростей, близких к скорости света и тогда в расчетах нельзя пренебрегать эффектами теории относительности.
Для установления характера движения ракеты в релятивистском случае введем понятие сопутствующей системы отсчета. Сопутствующая система отсчета — это инерциальная система отсчета, которая движется относительно лабораторной системы отсчета со скоростью самой ракеты, то есть это система отсчета, в которой ракета в данный момент времени покоится.

7.  ^2.50 Найдите связь ускорения ракеты в сопутствующей системе отсчета $a_p$ с ее ускорением в лабораторной системе отсчета $a_r$, если скорость ракеты в данный момент времени равна $v$, а скорость света — $c$. Ответ выразите через $a_p$, $a_r$, $v$, $c$.

8.  ^1.50 Пусть ракета в начальный момент времени покоится. Тогда используя результаты предыдущего пункта можно показать, что масса ракеты в некоторый момент времени в сопутствующей системе отсчета связана с ее скоростью в лабораторной системе соотношением
$$m=m_0\left(\frac{1-v/c}{1+v/c}\right)^\alpha.$$
Найдите $\alpha$ и выразите его через $u$, $c$.

9.  ^0.25 Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до скорости $v=0.5c$, равной половине скорости света $c=3.00\cdot 10^8~м/с$. Найдите начальную массу ракеты $m_0$ с топливом в виде степени с основанием $10$, если скорость истечения топлива $u=5.00~км/с$.

10.  ^0.25 С точки зрения практики наилучшей является так называемая фотонная ракета, которая выбрасывает назад не раскаленные газы, получаемые при сгорании топлива, а фотоны. Пусть объект массы $m=1000~кг$ требуется разогнать до скорости $v=0.5c$. Найдите начальную массу фотонной ракеты $m_0$.