Logo
Logo

Метаматериалы

Метаматериал — композиционный материал, свойства которого обусловлены не столько свойствами составляющих его элементов, сколько искусственно созданной периодической структурой. Метаматериалы синтезируются в современных нанолабораториях внедрением в исходный природный материал различных периодических структур с самыми различными геометрическими формами, которые модифицируют физические свойства исходного материала. В очень грубом приближении такие внедрения можно рассматривать как искусственно внесенные в исходный материал атомы чрезвычайно больших размеров. Разработчик метаматериалов при их синтезировании имеет возможность варьирования различных свободных параметров (размеры структур, форма, постоянный и переменный период между ними и т. д.).
В одной из нанолабораторий был получен метаматериал, из которого изготовили проводник длиной $L=5.00~см$ и радиусом $R=1.00~мм$, проводимость которого зависит от расстояния до оси по закону $\sigma_0=\beta r$. Свойства проводника были экспериментально определены и представлены в следующей таблице:

ФИЗИЧЕСКОЕ СВОЙСТВОЗНАЧЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Проводимость $\sigma_0=\beta r$$\beta=1.00\times 10^9~См/м^2$
Коэффициент теплоотдачи$\alpha=20~Вт/(м^2\cdot К)$
Коэффициент теплопроводности$k=0.01~Вт/(м\cdot К)$
Модуль Юнга$E=1.00\times 10^7~Па$
Коэффициент линейного расширения$\gamma=1.00\times 10^{-6}~К^{-1}$

1.  1,00 Найдите аналитическую формулу для полного сопротивления проводника $R_0$ и рассчитайте его численное значение.

По проводнику пропускают ток силой $I=1~А$. Известно, что теплообмен с окружающей средой происходит по закону Ньютона-Рихмана
$$P_{exp}=\alpha(T_s-T_0),$$
где $P_{ext}$ — мощность потерь с единицы поверхности проводника с температурой поверхности $T_s$, $T_0=293~К$ — температура окружающей среды, $\alpha$ — некоторая постоянная, называемая коэффициентом теплоотдачи.

2.  1,00 Найдите аналитическую формулу для температуры поверхности проводника $T_s$ и рассчитайте ее численное значение.

Температура проводника меняется с глубиной вследствие явления теплопроводности, которое описывается следующим законом Фурье
$$P=-kS\frac{\Delta T}{\Delta x},$$
где $P$ — мощность теплового потока между гранями параллелепипеда площадью $S$, $\Delta T$ — перепад температур между гранями параллелепипеда, расположенными на расстоянии $\Delta x$ друг от друга, $k$ — коэффициент теплопроводности.

3.  2,50 Найдите аналитическую формулу для температуры в центре проводника $T_{\max}$ и рассчитайте ее численное значение.

4.  0,50 Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\delta R_T$, обусловленного тепловым расширением, и рассчитайте его численное значение.

Внимание! В дальнейших расчетах считайте проводник бесконечно длинным.

5.  0,50 Найдите зависимость индукции магнитного поля $B(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси.

6.  1,00 Найдите аналитическую формулу для энергии магнитного поля $W_B$ внутри проводника и рассчитайте ее численное значение.

7.  1,00 В результате пропускания электрического тока по проводнику в нем возникает механическое напряжение. Найдите зависимость давления $p(r)$ внутри проводника в зависимости от расстояния $r$ до его оси.

8.  1,00 Найдите аналитическую формулу для механической энергии деформаций проводника $W_{\sigma}$ и рассчитайте ее численное значение.

9.  1,00 Найдите аналитическую формулу для изменения радиуса проводника $\delta R_{\sigma}$, обусловленного механическими напряжениями, и рассчитайте его численное значение.

10.  0,50 Найдите величину коэффициента теплового расширения $\gamma$, при которой радиус проводника не изменился бы при пропускании через него электрического тока.

Справка. Значение магнитной постоянной равно $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}~Гн/м$.