Logo
Logo

Модель атома водорода по Бору

Рассмотрим атом водорода, который состоит из протона, массу которого можно считать практически бесконечной, и электрона массой $m_e=9.11\times 10^{-31}~кг$. При этом протон имеет положительный заряд $e=1.61\times 10^{-19}~Кл$, а электрон — отрицательный заряд $−e$, так что в целом атом нейтрален.

1.  2,00 Известно, что большинство атомов стабильно и могут существовать продолжительное время. Это значит, что электрон не может находиться в состоянии покоя, иначе под действием силы притяжения он неминуемо упал бы на протон. Пусть расстояние между электроном и протоном равно $r_0=5.00\times 10^{-11}~м$. Считая применимыми законы классической физики, найдите время падения $t_1$ первоначально покоящегося электрона на протон.

Значит, для стабильности атома электрон должен двигаться вокруг протона так же, как планеты вращаются вокруг Солнца. Пусть орбита электрона круговая и законы классической физики по-прежнему применимы.

2.  1,00 Найдите скорость движения электрона $v$ в зависимости от радиуса орбиты $r$.

3.  0,50 Найдите момент импульса движения электрона $L$ в зависимости от радиуса орбиты $r$.

Датский физик Нильс Бор выдвинул постулат о том, что момент импульса электрона равен целому числу постоянных Планка $\hbar=1.05\times 10^{-34}~Дж\cdot с$, то есть $L=n\hbar$, где $n=1, 2, 3 \dots$ — главное квантовое число.

4.  0,50 Найдите возможные радиусы орбит электрона $n_r$ в атоме водорода.

5  0,50 Рассчитайте численное значение минимального радиуса орбиты электрона $r_1$ в атоме водорода.

6.  1,00 Найдите возможные значения полной энергии электрона $E_n$ в атоме водорода.

7.  0,50 Рассчитайте численное значение минимального значения полной энергии электрона $E_1$ в атоме водорода.

Согласно классической электродинамике, если электрон движется с ускорением, то он теряет свою энергию на электромагнитное излучение. При этом мощность излучения определяется выражением
$$P=\frac{1}{6\pi\varepsilon_0}\frac{e^2a^2}{c^3},$$
где $a$ — ускорение электрона, $\varepsilon_0=8.85\times 10^{-12}~Ф/м$ — электрическая постоянная, $c=3.00\times 10^{8}~м/с$ — скорость света в вакууме.
Электромагнитное излучение привело бы к тому, что в модели Бора электрон падал бы на протон. В дальнейшем считайте, что траектория электрона практически круговая.

8.  1,50 Считая, что в момент времени $t=0$ электрон находится на орбите радиусом $r_1$, найдите зависимость радиуса траектории от времени $t$.

9.  0,50 Найдите и вычислите время падения электрона $\tau_1$ с орбиты радиусом $r_1$ на протон.

10.  2,00 Сколько оборотов успевает сделать электрон вокруг протона за время падения $\tau_1$?