Магнетрон — это устройство для создания микроволнового излучения (в импульсном или непрерывном режиме) . У магнетрона есть мода самовозбуждающихся колебаний. Если на магнетрон подать постоянное (не переменное) напряжение, то эта мода возбуждается очень быстро.
Магнетрон в микроволновке представляет собой медный цилиндрический катод (радиуса $a$) и окрудающий его анод (радиуса $b$). Анод — это толстый цилиндрический слой, в котором просверлены цилиндрические полости. Эти полости называются резонаторами. Один из резонаторов соединен с антенной, с помощью которой излучение испускается (в задаче антенной можно пренебречь). Считайте, что магнетрон находится в вакууме. В задаче рассматривается магнетрон с 8 (восемью) резонаторами (рис. 1а). На рис. 1b показано, что каждая из восьми полостей ведет себя как $LC$-резонатор с частотой $f=2.45$ ГГц.
Магнетрон находится в постоянном однородном магнитном поле, направленном по его оси (т.е. на рис. 1a из страницы условия). Постоянное напряжение приложено между анодом (положительный потенциал) и катодом (отрицательный потенциал). Электроны? вылетевшие с катода, достигают анода и заряжают его. В результате возбуждается мода колебаний, в которой знаки зарядов любых соседних резонаторов противоположны. В результате между катодом и анодом (вдобавок к постоянному полю) создается переменное электрическое поле с частотой $f=2.45$ ГГц (синие линии на рис. 1а, постоянное поле не показано). В стационарном режиме амплитуда колебаний напряженности переменного электрического поля составляет около $\frac{1}{3}$ напряженности постоянного поля. На движение электронов влияют обе составляющие электрического поля. В процессе движения электроны приобретают некоторую энергию от постоянного поля. Электроны, достигающие анода, передают переменному полю около 80\% энергии, полученной при ускорении в постоянном поле. Небольшая часть вылетевших электронов возвращаются на катод и выбивают новые.
Каждый резонатор можно рассматривать как конденсатор и катушку (рис. 1b). Емкость имеют плоские части поверхности резонатора, индуктивность — цилиндрические части. Считайте, что ток в резонаторе течет очень близко к поверхности цилиндрической полости, а создаваемое им магнитное поле составляет $0.6$ поля идеального бесконечного соленоида. Геометрические размеры резонатора приведены на рисунке 1b. Физические постоянные $\varepsilon_0=8.85\cdot10^{-12}$ Ф/м и $\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}$ Гн/м считайте заданными.
В пункте A2 рассматриваются вспомогательные аспекты движения электрона (не в магнетроне). Рассмотрим электрон, который движется в однородном электрическом поле, направленном против оси $y$, т.е. $\vec{E}=-E_0\hat{y}$, и однородном магнитном поле, направленном вдоль оси $z$, т.е. $\vec{B} = B_0 \hat{z}$. $E_0$ и $B_0$ — положительные постоянные, $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ — единичные орты правой координатной системы. Скорость электрона в момент времени $t$ обозначим $\vec{u}(t)$. Скорость дрейфа $\vec{u}_D$ электрона — это его средняя скорость движения. Обозначим $m$ — массу электрона, $-e$ — его заряд.
Найдите $\overrightarrow{u}_D$ для двух случаев, описанных ниже. Нарисуйте в листе ответов траектории движения электронов (в лабораторной системе отсчета) в течение интервала времени $0 < t < \frac{4\pi m}{eB_0}$, если
Вернемся теперь к обсуждению магнетрона. Расстояние между катодом и анодом $15$ мм. Пусть также из-за описанных ранее потерь энергии максимальная кинетическая энергия электрона не превышает $K_{\text{max}}=800$ эВ. Индукция постоянного магнитного поля $B_0=0.3$ Тл. Масса и заряд электрона равны $m=9.1\cdot10^{-31}$кг и $-e=-1.6\cdot10^{-19}$ Кл соответственно.
A4 1.20 На рисунке 2 изображены силовые линии переменного электрического поля между анодом и катодом в некоторый момент времени (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения пяти электоронов в этот момент времени обозначены $A, B, C, D$ и $E$. Укажите в листе ответов, какие из этих электронов дрейфуют в сторону анода, какие в сторону катода, а какие дрейфуют в направлении перпендикулярном радиусу в этот момент времени.
На рисунке 3 изображены силовые линии переменного электрического поля между анодом и катодом в некоторый момент времени (силовые линии постоянного поля не показаны). Положения шести электоронов в этот момент времени обозначены $A, B, C, D, E$ и $F$. Все электроны расположены на одинаковом расстоянии от катода.
Поведение системы, которое вы обнаружили в пункте A5, — это механизм фокусировки. Электроны концентрируются в пространстве между катодом и анодом в сгустки. Такие сгустки называются «спицами». Одна из спиц показана на рисунке 4 и обозначена $S$.
Пусть полная напряженность электрического поля на середине расстояния между анодом и катодом равна среднему значению напряженности постоянного поля, измеренной вдоль радиуса. Считайте, что спицы направлены радиально. Радиусы анода и катода равны $b$ и $a$ соответственно (рис. 4).
В этой части задачи обсуждается нагрев еды с помощью микроволнового излучения.
Электрический диполь представляет собой два одинаковых по модулю и противоположных по знаку заряда $q$ и $-q$, расположенных на небольшом расстоянии $d$ друг от друга. Вектор дипольного момента направлен от отрицательного заряда к положительному, а его модуль равен $p=qd$.
Пусть одиночный диполь $\vec{p}(t)$ помещен в переменное электрическое поле $\vec{E}(t)=E(t)\hat{x}$. Модуль дипольного момента постоянен, т.е. $p_0=\left|\vec{p}(t)\right|$. Угол между векторами дипольного момента и напряженности поля равен $\theta(t)$.
Молекулы воды можно представить электрическими диполями. Из-за сильных водородных связей между молекулами воды в жидкости нельзя считать воду совокупностью независимых диполей. Таким образом необходимо использовать вектор поляризации $\vec{P}(t)$, который равен среднему дипольному моменту единицы объема вещества. Вектор поляризации $\vec{P}(t)$ направлен параллельно вектору напряженности локально приложенного переменного электрического поля (излучения) $\vec{E}(t)$. Также он осциллирует во времени с амплитудой, пропорциональной амплитуде напряженности электрического поля, но с фазовым сдвигом $\delta$.
Локальное электрическое поле в некоторой точке нагреваемой воды равно $\overrightarrow{E}(t)=E_0\sin(\omega t)\hat{x}$, где $\omega=2\pi f$, поляризует воду $\overrightarrow{P}(t)=\beta\varepsilon_0E_0\sin(\omega t-\delta)\hat{x}$, где безразмерная постоянная $\beta$, определяется свойствами воды.
Рассмотрим распространение излучения сквозь воду. Относительная диэлектрическая проницаемость воды (в обсуждаемых диапазонах частот) равна $\varepsilon_r$, соответствующий показатель преломления воды равне $n=\sqrt{\varepsilon_r}$. Мгновенная плотность энергии электрического поля равна $\frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0E^2$. Усредненные по времени плотности энергии электрического и магнитного поля равны.
B3 1.10 Обозначим усредненную по времени плотность потока энергии излучения $I(z)$ (средняя мощность излучения проходящая через единицу площади). Здесь $z$ — это глубина проникновения излучения в воду (излучение распространяется вдоль оси $z$). Найдите зависимость $I(z)$. В вашем ответе может фигурировать плотность потока энергии на поверхности воды $I(0)$.
Фазовый сдвиг $\delta$ обусловлен взаимодействием между молекулами воды. Он зависит от безразмерных величин $\varepsilon_{\ell}$ (характеризующая диссипацию) и $\varepsilon_r$ (диэлектрическая проницаемость). Обе величины зависят от частоты излучения $\omega$ и температуры. Формула для фазового сдвига $\text{tg }\delta=\varepsilon_{\ell}/\varepsilon_r$. Когда $\delta$ достаточно мала, электрическое поле на глубине $z$ рассчитывается следующим образом:
$$\overrightarrow{E}(z,t)=\overrightarrow{E}_0 e^{-\frac{1}{2}nk_0z\tan{\delta}}\sin\left(nk_0z-\omega t\right)$$
где $k_0=\omega/c$ и $c=3.0 \cdot 10^8$ м/с — скорость Светы в вакууме.
На рисунке 5 изображены зависсимости $\color{blue}{\varepsilon_{\ell}}$ (синие линии) и $\color{red}{\varepsilon_r}$ (красные линии) для чистой (сплошные линии) и соленой (пунктирные линии) воды. Приведены зависимости указанных величин от частоты при разных температурах. Обсуждаемая в задаче угловая частота $\omega=2\pi\cdot2.45\cdot10^9$ 1/с отмечена жирной черной вертикальной линией. Далее мы рассматриваем излучение только на этой частоте.
По данным на рисунке 5 ответьте на следующие вопросы: