Logo
Logo

Термоакустический двигатель

Термоакустический двигатель превращает тепловую энергию в акустическую, или в звуковые волны — один из видов механической энергии. Как и другие тепловые двигатели, он может работать в обратном режиме, став холодильной машиной, т.е. с помощью звука передавать тепло от холодного тела к горячему. Т.к. двигатель функционирует на высокой частоте, теплопередача уменьшается. Также двигателю не требуется рабочая камера. В отличие от других двигателей, термоакустический двигатель не имеет движущихся частей, кроме рабочего потока.

К.п.д. термоакустческого двигателя обычно ниже, чем у других двигателей, но они обладают рядом преимуществ при сборке, отладке и обслуживанию. В этой задаче мы рассмотрим генерацию звуковой энергии в системе.

Часть А. Звуковая волна в закрытой трубе (3.7 балла)

Рассмотрим теплоизолированную трубу длиной $L$ и площадью поперечного сечения $S$. Ось трубы совпадает с осью $x$. Координаты концов трубы — $x=0$ и $ x=L$. Труба заполнена идеальным газом и закрыта с обоих концов. В равновесии температура газа $T_0$, давление $p_0$ и плотность $\rho_0$. Предполагается, что вязкость отсутствует, а движение газа происходит только вдоль горизонтальной оси $x$. Свойства газа однородны в перпендикулярных направлениях $y$ и $z$.

Рис. 1

A1  0.30 Если образуется стоячая волна, элементы газа колеблются в направлении $x$ с циклической частотой $\omega$. Амплитуда колебаний зависит от положения равновесия $x$ каждого элемента вдоль трубы. Продольное смещение $u$ каждого элемента газа от его положения в состоянии покоя $x$ дается формулой

$$u(x,t)=a\sin(kx)\cos(\omega t)=u_1(x)\cos(\omega t)$$(заметим, что $u$ описывает смещение рассматриваемой порции газа). Здесь $a\ll L$ — положительная постоянная, $k = 2\pi /\lambda$ — волновое число и $\lambda$ — длина волны. Чему равна максимально возможная длина волны $\lambda_\text{max}$ в такой системе?

В этой задаче рассмотрим моду колебаний, соответствующую длине волны $\lambda=\lambda_\text{max}$.

Рассмотрим порцию газа, находящуюся в состоянии покоя между $x$ и $x+\Delta x$ ($\Delta x \ll L$). В результате волны смещения из задания A1, порция газа колеблется вдоль оси $x$. При этом изменяется её объем и другие термодинамические характеристики.

A2  0.50 Объем порции газа $V(x,t)$ колеблется около равновесного значения $V_0 = S \Delta x$ согласно формуле
$$V(x,t) = V_0 + V_{1}(x) \cos (\omega t).$$
Получите выражение для $V_1(x)$, выразив его через $V_0$, $a$, $k$ и $x$.

A3  0.70 Считайте, что зависимость давления газа из-за звуковой волны имеет приближенный вид
$$p(x,t) = p_0 - p_{1}(x) \cos (\omega t).$$
Рассматривая силы, действующие на порцию газа, вычислите амплитуду $p_1(x)$ колебаний давления (первый порядок малости), выразив ее через координату $x$, равновесную плотность $\rho_0$,амплитуду смещения $a$ и параметры волны $k$ и $\omega$.

При звуковых частотах теплопроводностью газа можно пренебречь. Будем считать процессы расширения и сжатия газа адиабатическими. То есть выполняется уравнение $pV^\gamma = \text{const}$, где $\gamma$ — показатель адабаты.

A4  0.30 Используйте приведённое выше соотношение и результаты предыдущих пунктов, чтобы получить выражение для скорости звуковых волн $c = \omega /k $ . Выразите свой ответ через параметры равновесного состояния газа $p_0, \rho_0$ и показатель адиабаты $\gamma$.

A5  0.70 Изменение температуры газа в процессе адиабатического расширения и сжатия в результате воздействия звуковой волны имеет вид:
$$T(x,t) = T_0 - T_{1}(x) \cos (\omega t).$$
Вычислите амплитуду $T_1(x)$ колебаний температуры, выразив ее через $T_0$, $\gamma$, $a$, $k$ и $x$.

A6  1.20 Только в этом пункте рассмотрим слабое тепловое взаимодействие между трубой и газом. Таким образом, стоячая волна остается неизменной, но газ может обмениваться небольшим количеством тепла с трубой. Нагревом, обусловленным вязкостью, можно пренебречь.

Для каждой точки на рис.~2 (A, C на концах трубы, B посередине) укажите, будет ли температура указанных точек трубы увеличиваться, уменьшаться или не будет изменяться в течение длительного времени.

Рис. 2

Часть B. Усиление звуковой волны, вызванное внешним тепловым контактом (6.3 балла)

Стопка тонких твердых пластин установлена внутри трубы. Пластины в стопке установлены параллельно оси трубы, так что они не мешают потоку газа вдоль трубы. Середина стопки расположена на $x_0 = L /4$, ширина стопки $\ell \ll L$ вдоль оси трубы; стопка заполняет полностью сечение трубы. Левый край стопки находится на $x_H = x_0 - \ell / 2$. С помощью внешнего теплового резервуара его температура поддерживатся равной $T_H = T_0 + \tau /2$ . В то же время, правый край стопки находится на $x_C = x_0 + \ell / 2$, и его температура поддерживается равной $T_C=T_0 - \tau/2$. Таким образом между концамм

Стопка пластин обеспечивает, что продольный тепловой поток имеет постоянный градиент температуры между краями, так что $T_\text{plate}(x)=T_0-\frac{x-x_0}{\ell}\tau$.

Рис.~3. Схема системы. (A) и (B) обозначают соответственно горячий и холодный резервуары тепла. (D) --- стопка пластин.

Для анализа влияния теплового контакта между стопкой пластин и газом на звуковые волны в трубе, предположим следующее:

  • Все изменения термодинамических величин малы по сравнению с невозмущенными величинами.
  • Система работает на основной моде стоячей волны при максимально возможной длине волны. Она очень слабо изменяется из-за наличия стопки пластин.
  • Стопка пластин значительно короче длины волны $\ell \ll \lambda_\text{max}$, и может быть расположена достаточно далеко от узлов (нулей) смещения и давления, так что смещение $u(x,t)\approx u(x_0,t)$ и давление $p(x,t)\approx p(x_0,t)$ могут считаться постоянными по всей длине стопки.
  • Краевыми эффектами, вызванными порциями газа, входящими в стопку пластин и выходящими из неё можно пренебречь.
  • Разница температур между краями стопки пластин, т.е. между горячим и холодным резервуарами, мала по сранению с абсолютной температурой: $\tau \ll T_0$.
  • Теплопроводностью газа, стопки пластин и трубы можно пренебречь. Основными процессами теплопередачи являются конвекция (из-за движения газа) и теплопередача между газом и стопкой пластин.

B1  0.40 Рассмотрим конкретную порцию газа в районе стопки пластин, первоначально расположенную на $x_0=L/4 $. В процессе движения порции газа внутри стопки пластин, локальная температура участка стопки пластин изменяется следующим образом:
$$T_\text{env}(t) = T_0 - T_\text{st} \cos (\omega t).$$
Выразите $T_\text{st}$ через of $a$, $\tau$ и $\ell$.

B2  1.00 Выше определенной критической разницы температур $\tau_\text{cr}$ газ будет передавать тепло от горячего резервуара к холодному. Выразите $\tau_\text{cr}$ через $T_0$, $\gamma$, $k$ и $\ell$.

B3  0.80 Получите приближенное выражение для потока тепла $\frac {dQ}{dt}$ в порцию газа как линейную функцию скоростей изменения объема и давления. Выразите свой ответ через скорость изменения объема $\frac{dV}{dt}$, скорость изменения давления $\frac{dp}{dt}$, невозмущенные равновесные значения давления и объёма порции газа $p_0$ ,$V_0$, и показатель адабаты $\gamma$. (Вы можете использовать выражение для молярной теплоемкости при постоянном объеме $c_v= \frac {R}{\gamma -1}$, где $R$ — газовая постоянная.)

Ограниченный тепловой поток между порцией газа и стопкой пластин приводит к сдвигу фаз между колебаниями давления и объёма порции газа. Это приводит к появлению работы.

Пусть поток тепла между частицей газа и стопкой пластин пропорционален разнице температур между частицей газа и расположенным рядом элементом стопки пластин. Приближенно можно записать $\frac{dQ}{dt} =-\beta V_0 (T_\text{st} - T_1 ) \cos(\omega t)$, где $T_1$ и $T_\text{st}$ — амплитуды колебаний температуры порции газа и расположенной рядом стопки пластин из заданий A.5 и B.1, соответственно, $\beta>0$ — постоянная. Считайте, что при рабочих частотах двигателя, изменение температуры газа в результате этого теплового потока несущественно по сравнению как с $T_1$, так и $T_\text{st}$.

B4  1.90 Для вычисления работы рассмотрим изменение объема движущейся порции газа в результате теплового контакта с стопкой пластин. Запишем давление и объем порции газа в виде:
$$\begin{split} p & =p_0+p_a\sin(\omega t)-p_b\cos(\omega t),\\ V & =V_0+V_a\sin(\omega t)+V_b\cos(\omega t).\end{split}$$
При заданных $p_a$ и $p_b$, найдите коэффициенты $V_a$и $V_b$. Выразите свой ответ через $p_a$, $p_b$, $p_0$, $V_0$, $\gamma$, $\tau$, $\tau_\text{cr}$, $\beta$, $\omega$, $a$ и $\ell$.

B5  0.80 Вычислите акустическую работу, отнесенную к единице объёма $w$, произведённую порцией газа за один цикл.

Интегрируя по объёму всей стопки пластин, найдите полную работу $W_\text{tot}$, совершенную газом за один цикл. Выразите $W_\text{tot}$ через $\gamma$, $\tau$, $\tau_\text{cr}$, $\beta$, $\omega$, $a$, $k$ и $S$.

B6  0.80 Получите выражение для теплоты $Q_\text{tot}$ , переданного за цикл от левого края пластины $x=x_0$ к правому краю. Выразите свой ответ через $\tau$, $\tau_\text{cr}$, $\beta$, $\omega$, $a$, $S$, $\ell$.

(Подсказка. Для потока тепла при конвекции можно использовать формулу $j=Q\frac{du}{dt}$)

B7  0.60 Определите к.п.д. термоакустического двигателя. К.п.д. определяется как отношение произведенной акукстической работы к теплу, полученному из резервуара. Выразите свой ответ через разницу температур $\tau$ между горячим и холодным резервуарами, критическую разность температур $\tau_\text{cr}$ и к.п.д. цикла Карно $\eta_c=1-T_C/T_H$.